Discussió:Espai de Banach

Afirmació falsa

L'article diu que les successions de Cauchy : « De manera resumida, són aquelles en què ||x_n+1 − x_n|| → 0 per a n→∞. » Això no és cert.

Heus aquí un contraexemple (clàssic) : si per a tot n ≥ 1, $x_{n}=\ln(n)$, $x_{n}\rightarrow +\infty$, doncs $(x_{n})$ no és una successió de Cauchy, i malgrat tot : $x_{n+1}-x_{n}=\ln(n+1)-\ln(n)=\ln \left({\frac {n+1}{n}}\right)=\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)\rightarrow 0$.

(més generalment : $x_{n+2}-x_{n}\rightarrow 0,\,x_{n+3}-x_{n}\rightarrow 0\ldots$ )

(l'afirmació seria correcta si es tractés d'una successió d'elements d'un espai ultramètric : en aquest cas, una successió (x_n) és de Cauchy si i només si $d(x_{n+1},x_{n})\rightarrow 0$. Però un espai vectorial normat sobre el cos dels nombres reals o dels nombres complexos no és un espai ultramètric). Vivarés (disc.)