Distribució de Dirichlet variada matricial

En estadística, la distribució de Dirichlet variada matricial és una generalització de la distribució beta variable de matriu i de la distribució de Dirichlet.

Distribució de Dirichlet variada matricial

Tipus	distribució matricial

Suposem $U_{1},\ldots ,U_{r}$ són $p\times p$ matrius definides positives amb $I_{p}-\sum _{i=1}^{r}U_{i}$ també positiu-definit, on $I_{p}$ és el $p\times p$ matriu d'identitat. Aleshores diem que el $U_{i}$ tenen una distribució de Dirichlet variable en matriu, $\left(U_{1},\ldots ,U_{r}\right)\sim D_{p}\left(a_{1},\ldots ,a_{r};a_{r+1}\right)$, si la seva funció de densitat de probabilitat conjunta és

$\left\{\beta _{p}\left(a_{1},\ldots ,a_{r},a_{r+1}\right)\right\}^{-1}\prod _{i=1}^{r}\det \left(U_{i}\right)^{a_{i}-(p+1)/2}\det \left(I_{p}-\sum _{i=1}^{r}U_{i}\right)^{a_{r+1}-(p+1)/2}$

on $a_{i}>(p-1)/2,i=1,\ldots ,r+1$ i $\beta _{p}\left(\cdots \right)$ és la funció beta multivariant.

Si escrivim $U_{r+1}=I_{p}-\sum _{i=1}^{r}U_{i}$ aleshores el PDF pren la forma més senzilla

$\left\{\beta _{p}\left(a_{1},\ldots ,a_{r+1}\right)\right\}^{-1}\prod _{i=1}^{r+1}\det \left(U_{i}\right)^{a_{i}-(p+1)/2},$

entenent que $\sum _{i=1}^{r+1}U_{i}=I_{p}$ .