Funció de densitat de probabilitat

En la teoria de la probabilitat, una funció de densitat de probabilitat és una funció que representa una distribució de probabilitat en termes d'integrals. En particular, és una funció el valor de la qual en qualsevol interval (o punt) en l'univers (el conjunt de valors possibles que pot prendre la variable aleatòria) es pot interpretar com la probabilitat relativa que el valor de la variable aleatòria pertanyi a aquell interval o valgui aquell valor. La densitat de probabilitat és la probabilitat per unitat de longitud, en altres paraules, així com la probabilitat absoluta que una variable aleatòria contínua prengui un valor en particular és de 0 (ja que, per començar, hi ha un conjunt infinit de valors possibles), el valor de la funció de densitat de probabilitat de dues mostres concretes pot ser usat per inferir, en qualsevol realització de la variable aleatòria, quant més probable és que la variable aleatòria prengui el valor d'una mostra respecte l'altra.

Diagrama de caixa i funció de densitat de probabilitat d'una distribució normal N(0, σ²).

En un sentit més precís, s'utilitza la funció de densitat de probabilitat per especificar la probabilitat que una variable aleatòria caigui dins d'un rang de valors en particular, en detriment que prengui un valor en concret. Aquesta probabilitat és donada per la integral de la funció de densitat de probabilitat d'aquesta variable al llarg del domini -és a dir, ve donada per l'àrea sota la funció de densitat sobre l'eix horitzontal entre el valor més baix i el més alt de l'interval. La funció de densitat de probabilitat és pertot arreu no negativa, i l'àrea sota tota la corba és igual a 1.

Els termes funció de distribució de probabilitat i funció de probabilitat també s'han usat algun cop per designar la funció de densitat de probabilitat. Tanmateix, aquest ús no és estàndard entre els probabilistes i estadístics. En altres fonts, es pot usar "funció de distribució de probabilitat" quan la distribució de probabilitat és definida com a funció de conjunts de valors generals o pot referir a la funció de distribució acumulada, o pot ser una funció de massa de probabilitat, més que no de densitat. Per al funció de massa de probabilitat s'utilitza el terme "funció de densitat" en si mateix, cosa que dóna lloc a encara més confusió. En general, tot i això, s'utilitza la funció de massa de probabilitat en el context de variables aleatòries discretes (variables aleatòries que prenen valors en un conjunt numerable), mentre que la funció de densitat de probabilitat s'utilitza en el context de variables aleatòries contínues.

Definició

Formalment, una distribució de probabilitat té densitat f si f és una funció no-negativa, Lebesgue-integrable $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ tal que la probabilitat d'un interval [a, b] ve donada per:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx$

per dos nombres a i b qualssevol. Això implica que el valor de la integral, quan $a=-\infty$ i $b=\infty$, ha d'ésser 1. Recíprocament, qualsevol funció no-negativa Lebesgue-integrable amb integral total igual a 1 és una funció de densitat d'una distribució de probabilitat. La funció de densitat de probabilitat és un cas particular de la derivada de Radon-Nikodym.

Intuïtivament, si una distribució de probabilitat té densitat f(x), aleshores l'interval infinitesimal [x, x + dx] té probabilitat f(x) dx.

Vegeu també

• Càlcul de probabilitats