Obre el menú principal

Variable aleatòria

Variable aleatòriaModifica

A l'estudi de molts experiments aleatoris molt sovint no ens interessa el resultat que s'obté sinó alguna quantitat numèrica relacionada amb ell. Per exemple, quan algú aposta en un joc d'atzar no l'interessa tant conèixer el resultat com el benefici (o la pèrdua) obtingut. Informalment, es defineix variable aleatòria com una funció que assigna un valor numèric real a cadascun dels resultats possibles d'un experiment aleatori [1]

Quant a la notació, la variable aleatòria se sol indicar amb   (en majúscules) i el valor observat d'aquesta variable aleatòria se sol indicar amb   (és a dir, en minúscules).

Es diu "aleatòria" perquè el seu domini és constituït pels resultat d'un experiment influït per l'atzar i se'n diu "variable" perquè pren valors numèrics que varien (d'acord amb la probabilitat). Cal dir, però, que la paraula variable és una mica confosa, ja que, com hem comentat, una variable aleatòria és una funció o una aplicació, i no es correspon al que en altres parts de la matemàtica s'anomena la variable d'una funció.

En resum, una variable aleatòria (o estocàstica) és una aplicació mesurable d'un espai de probabilitat  en el conjunt dels nombres reals  :

 

essent Ω el conjunt de resultats possibles de la variable aleatòria, Α el conjunt de successos associats i   la funció de probabilitat.

Per exemple:

Considerem l'experiència aleatòria del llençament de dos daus. El conjunt de resultats possibles d'aquesta experiència és:  on el parell   vol dir que al primer dau (dau1) hem obtingut el resultat   i al segon dau (dau2) hem obtingut el resultat  .

Podem considerar la variable aleatòria   que a cada resultat de l'experiència li assigna la suma dels punts dels dos daus, és a dir:

 =suma dels punts dels dos daus.

El resultat   (és a dir, dau1=1 i dau2=3} tindrà assignat el valor real 4 en aquesta variable que hem definit.

En aquest exemple els valors possibles de la variable aleatòria serien: 

Tipus de variables aleatòriesModifica

Les variables aleatòries poden ser de dos tipus: discretes i contínues.

Una variable aleatòria s'anomena discreta si té un nombre finit de possibles valors, o bé, en cas de tenir-ne infinits com a possibles, si aquests poden ser ordenats seqüencialment (conjunt de valors infinit numerable).

Moltes variales aleatòries discretes importants prenen valors enters.

Exemples de variables aleatòries discretes

  • La que hem vist anteriorment del llençament de dos daus:  =suma dels punts dels dos daus.
  • La distribució binomial, per les seves aplicacions, és la més important de les distribucions discretes de probabilitat.

Una variable aleatòria s'anomena contínua si els seus possibles valors són tots els nombres reals d'un interval.

Quan treballem amb variables aleatòries que representin alguna mesura física, aquesta podrà prendre valors, teòricament, a tota una escala contínua. A la pràctica el procés efectiu de mesura comportarà una tabulació.

Moltes de les variables d'estudis estadístics reals poden ser formalitzades amb el model d'una variable aleatòria contínua:

  • La mesura del temps d'avanç o retard amb què un tren arriba a la seva destinació.
  • El pes dels nadons en una població.
  • Les alçades de la població adulta.
  • La fracció de massa que s'ha desintegrat per unitat de temps en una substància radioactiva.
  • La distribució normal, per les seves aplicacions, és la més important de les distribucions contínues de probabilitat.


Per especificar completament una variable aleatòria discreta   hom necessita saber:

  • El conjunt de possibles valors  
  • La probabilitat  

Distribucions de probabilitatModifica

Observem que cada esdeveniment elemental de l'experiència aleatòria té assignat un valor de la variable aleatòria (en l'exemple del llançament dels dos daus, l'esdeveniment (1,1) té associat el valor 2 de la variable aleatòria) i que diferents esdeveniments elementals poden tenir assignat el mateix valor(en l'exemple del llançament dels dos daus, els esdeveniments (1,2) i (2,1) tenen associat el mateix valor 3 de la variable aleatòria).

Distribució de probabilitat d'una variable aleatòria discreta (funció de densitat)Modifica

S'anomena funció de densitat associada a una variable aleatòria discreta a una funció   tal que:

 

La funció de densitat té com a variable independent el valors de la variable aleatòria. Per extensió pot ser considerada com una funció real de variable real que té com imatge 0 per als nombres reals que no siguin possibles valors de la variable aleatòria.

 
Distribució de probabilitat de la variable aleatòria "suma dels valors del llençament de dos daus"

Es fa servir el nom de la variable quan es considera la probabilitat que es verifiqui alguns dels esdeveniments, Així, podem escriure,  per indicar la probabilitat que la variable aleatòria prengui el valor 2.

En l'exemple dels dos daus tenim que, per exemple,  perquè l'esdevenivement  té com a únic cas favorable {dau1=1 i dau2=1} i extensivament la funció de densitat vindria definida per:

  ,,,,,,,,, 

Distribució de probabilitat d'una variable aleatòria contínuaModifica

Si X és una variable aleatòria contínua i   pertany a l'interval dels possibles valors de la variable, aleshores  .

Aquest fet fa que, necessàriament, s'hagi de definir un element de treball nou que substitueixi la definició de la funció de densitat que havíem donat per a la variable aleatòria discreta.

S'anomena funció de densitat associada a una variable aleatòria contínua a una funció   tal que:

 

És a dir, la probabilitat que la variable prengui un valor de l'interval   és l'àrea de la zona limitada pel gràfic de la funció , l'eix de les x i l les rectes x=a i x=b.

El fet que la probabilitat total de tots els valors que pot prendre la variable aleatòria sigui 1, i que la definició de probabilitat comporti que vingui mesurada per nombres reals de l'interval   comporta que:

  •   per a qualsevol valor de x.
  • L'àrea total compresa sota la gràfica representativa de   és 1. O bé formalment,  .

Exemple.

Per una línia d'autobusos, n'hi passen, amb aboluta regularitat cada 10 minuts, La funció de densitat de probabilitat de la variable aleatòria   que representa el temps que cal esperar l'autobús si s'arriba aleatòriament a la parada és el que es mostra al gràfic

 
Funció de densitat de probabilitat de la variable aleatòria "temps espera parada autobusos"


El valor de f(x) per a l'interval de temps   s'ha fixat de manera que l'àrea sota la funció sigui 1.

Si una persona arriba a la parada aleatòriament, quina és la probabilitat que hagi d'esperar-se 7 minuts o més?

La resposta s'obté calculant l'àrea del rectangle ombrejat. El valor de   serà, doncs, 3x0.1=0,3.



Paràmetres de les variables aleatòriesModifica

Estudiarem dos paràmetres per mesurar numèricament "el centre" i "la dispersió" d'una variable aleatòria .

Variable aleatòria discretaModifica

MitjanaModifica

La mitjana   d'una variable aleatòria discreta   es defineix en termes de la distribució de probabilitat:

 

La suma s'estén a tots els valors  de la variable aleatòria.

En l'exemple dels dos daus val:  

La mitjana d'una variable aleatòria rep també el nom de valor esperat (o esperança) i es representa  

VariànciaModifica

En teoria de la probabilitat i estadística, Variància és un paràmetre estadístic que mesura la dispersió d'una variable aleatòria   respecte al seu valor mitjà.[2]

La variància d'una variable aleatòria discreta  , és el valor esperat del quadrat del valor esperat de la variable   respecte la seva mitjana  .

La variància es defineix per la fórmula:

 

La variància és el quadrat d'una altre paràmetre de dispersió, la desviació tipus  , és a dir:    .

La variància és representa mitjançant  ,  , o simplement  .

La variància té un paper central en: estadística descriptiva, inferència esdística, test d'hipòtesi, mètode Monte Carlo,...

És també molt important en les ciències que utilitzen freqüentment l'anàlisi estadística de les dades.

Variable aleatòria contínuaModifica

MitjanaModifica

La mitjana o valor esperat   d'una variable aleatòria contínua  es defineix en termes de la funció de densitat de probabilitat:

 

VariànciaModifica

La variància es defineix per la fórmula:

 


La desviació tipus o estàndard ,  , és l'arrel quadrada positiva de la variància:


 


Variable aleatòria discretaModifica

Intuïtivament, una variable aleatòria és discreta si el seu conjunt de valors possibles es pot enumerar, tot i que el nombre de valors possibles no ha de ser pas finit. Per exemple, una variable aleatòria que pot prendre els valors   (on   indica que la seqüència segueix indefinidament).

Matemàticament, una variable aleatòria és discreta si la seva mesura de probabilitat està dominada per la mesura comptadora. La distribució d'una variable discreta sol representar-se amb la seva funció de distribució

 

o amb la funció de probabilitat

 .

És a dir, la funció de distribució permet calcular probabilitats acumulatives i la funció de probabilitat permet calcular quina és la probabilitat que la variable aleatòria prengui un cert valor.

ExempleModifica

Suposem que llencem dues monedes a l'aire. Indiquem una cara amb c i una creu amb s. Els possibles resultats de l'experiment són observar dues cares (cc), una cara seguida d'una creu (cs), una creu seguida d'una cara (sc) i dues creus (ss).

Ω = { cc, cs, sc, ss }

Sigui X la variable aleatòria que identifica el nombre de cares obtingudes en el llançament. És a dir, X és la següent funció dels elements d'Ω:

 
 
 

El domini de X és   = { 0, 1, 2 }. O sigui, és una variable discreta, doncs només pot prendre els valors 0, 1 i 2.

La funció de probabilitat és  . La funció de distribució ve donada per  .

Variable aleatòria continuaModifica

Intuïtivament, una variable aleatòria és contínua si els valors que pot prendre no es poden enumerar. Per exemple, una variable que pot prendre com a valor qualsevol nombre real. En aquest cas l'espai mostral Ω té un nombre infinit de punts.

Matemàticament, una variable aleatòria és contínua si la seva mesura de probabilitat està dominada per la mesura de Lebesgue. La distribució d'una variable contínua sol representar-se amb la seva funció de distribució

 

o amb la funció de densitat de probabilitat (pdf)

 ,

on   és la derivada respecte a la mesura de Lebesgue.

És important també definir el concepte de succés. En el cas continu s'entén per succés el conjunt de punts d'un interval determinat pels valors de la variable, per exemple tots els valors entre   i  . La probabilitat d'aquest succés és precisament el producte   amb   la pdf. Podem escriure això com

 

I com a conseqüència tenim que si l'espai mostral és l'interval   (que pot ser  ), aleshores

 

Fixem-nos que podem escriure la funció de distribució com (suposem que l'espai mostral és  ):

 

La funció de distribució compleix les següents propietats:

  1.  
  2.   és una funció creixent  
  3.  
  4. Si   és contínua en un punt  , aleshores  

ExempleModifica

El pes d'una persona és una variable contínua, assumint que podem mesurar el pes amb infinita precisió. Per exemple, podríem caracteritzar el pes amb una distribució normal amb mitjana 70 i desviació estàndard 10.

La distribució uniforme, si suposem que l'espai mostral és  , la pdf ve definida per:

 

i

 

Funcions de variables aleatòriesModifica

Aplicar una funció a una variable aleatòria resulta en una variable aleatòria. Més formalment, si tenim una variable aleatòria X que assigna elements de Ω a elements de R, i una funció mesurable f: RR, aleshores Y = f(X) també és una variable aleatòria, ja que la composició de funcions mesurables també és mesurable. La funció de distribució de Y és

 

Exemple 1Modifica

Sigui X una variable aleatòria contínua que pren valors en els nombres reals, i sigui Y = X2. Aleshores, Y és una variable aleatòria amb funció de distribució

 

Si y < 0, aleshores P(X2y) = 0, i per tant

 

Si y ≥ 0, aleshores

 

i per tant

 

Exemple 2Modifica

Suposem que   és una variable aleatòria amb funció de distribució

 

on   és un paràmetre fixat. Considerem la variable aleatòria   Aleshores,

 

La darrera expressió pot calcular-se en termes de la funció de distribució d'  i per tant

 

Vegeu tambéModifica

BibliografiaModifica

  • Probabilidad y Estadística. Morris H. DeGroot, publicado por Addison-Wesley Iberoamericana. (Segunda Edición)


ReferènciesModifica

  1. Bonet, Eduard.. Fonaments d'estadística (en català). 1a ed. Barcelona: Teide, 1974, p. 67. ISBN 8430773495. 
  2. Gran Enciclopèdia Catalana, Volum 23 (en català). 1980,1989. Barcelona: Enciclopèdia Catalana, p. 443. ISBN 84-85194-81-0.