Espai de probabilitat

Es matemàtiques, un espai de probabilitat és una modelització matemàtica d'un experiment aleatori. Consisteix en tres elements:

  1. El conjunt dels resultats possibles de l'experiment, que s'anomena espai mostral, i que normalment es designa per .
  2. Una família de subconjunts de que designarem per , i que té estructura de -àlgebra; els seus elements s'anomenen esdeveniments, successos o observables, i son els subconjunts de que tindran assignada una probabilitat.
  3. Finalment una probabilitat, que és una aplicació -additiva amb ; intuïtivament, donat un esdeveniment , s'interpreta com una avaluació numèrica de la incertesa de la realització de .

La terna s'anomena espai de probabilitat.

Les propietats de la definició de -àlgebra i de probabilitat constitueixen els axiomes a partir dels quals es construeix la moderna Teoria de la probabilitat i van ser formulats pel genial matemàtic rus Andrei Kolmogorov (1903-1987) en el seu seminal llibre [1] de 1933 . Per informació sobre com el sistema axionàtic de Kolmorov encaixa en les Probabilitats del primer terç del segle XX, vegeu.[2]

Espai mostralModifica

El conjunt dels resultats possibles d'un experiment aleatori s'anomena espai mostral i normalment es designa per la lletra grega  . Un element genèric de   es designa per  . Exemples típics d'espais mostrals són els següents:

  1. Tirem un dau ordinari i observem el resultat.:  .
  2. Tirem dues monedes; designem per   cara i per + creu. Llavors   .
  3. Comptem el nombre de trucades que arriben a una centraleta de telèfons.  .
  4. Observem la durada del temps de vida d'una partícula radioactiva:  .

EsdevenimentsModifica

En relació amb un experiment aleatori podem formular proposicions (per exemple: en tirar un dau, "surt un número parell") que cada vegada que és realitza l'experiment podem assegurar si són veritat o no En el context dels espais de probabilitat, podem identificar cadascuna d'aquestes proposicions amb el conjunt d'elements de   que fan que la proposició sigui veritat; així, a l'exemple anterior,la proposició "sortir parell" s'identifica amb el conjunt  . Aquests conjunts s'anomenen esdeveniments. Quan al fer l'experiment s'obté un element   es diu que l'esdeveniment A s'ha realitzat ; per exemple, si surt un 6 direm que l'esdeveniment A="sortir parell"  s'ha realitzat. El conjunt   s'anomena l'esdeveniment segur, ja que sempre es realitza, i   l'esdeveniment impossible, ja que mai es realitza. Els conjunts de la forma  s'anomenen esdeveniments elementals.

Les connectives lògiques entre proposicions (no, i, o) es traslladen a operacions entre conjunts:

  1. Si   és una proposició que es correspon amb l'esdeveniment  , aleshores   (ammb les notacions de la ògica   ) correspon a l'esdeveniment  (conjunt complementari). Per exemple, si  ="surt un número parell", llavors  ="no surt un nombre parell" s'identifica amb  .
  2. Si la proposició   és correspon amb   i la proposició   amb  , aleshores   (  ) es correspon amb  . Per exemple, si  ="surt un número parell" i  ="surt un número més gran o igual a 5", aleshores   ="surt un nombre parell més gran o gual a 5" es correspon amb  .
  3. Anàlogament,   ( ) es correspon amb  .

Per a més informació sobre la relació entre les àlgebres de Boole abstractes i les àlgebres de Boole de conjunts vegeu, per exemple,.[3]

La  -àlgebra dels esdevenimentsModifica

Així, tenim una família de subconjunts de   formada pels esdeveniments (o successos o observables),[4] que designarem per  , i suposarem que és una  -àlgebra:

  1.  .
  2. Si  , llavors,  , on   designa el complementari del conjunt  .
  3. Si tenim una col.lecció numerable d'esdeveniments,  , aleshores  .

Cal notar que de les propietats 1 i 2 es dedueix que  . D'altra banda, les unions finites d'esdeveniments també són esdeveniments, ja que

 
A més, de 2 i 3 es dedueix que la intersecció o diferència de dos esdeveniments també és un esdeveniment.

En paraules, una  -àlgebra és una col.lecció de subconjunts de   no buida que és tancada per les operacions de conjunts realitzades un nombre numerable de vegades.

La  -àlgebra més petita només té dos elements:  . La més gran és el conjunt de tots els subconjunts de  , o conjunt de les parts de  , que designarem per  .

Cas   finit: àlgebra de conjuntsModifica

Quan   és finit, aleshores només hi ha un nombre finit de possibles esdeveniments, i totes les propietats probabilístiques es poden deduir a partit l'estructura més simple d'algebra (de conjunts): una àlgebra és una família   de subconjunts   que compleix les condicions anteriors 1 i 2, i, en lloc de 3,

3': Si  , aleshores  .

Noteu que per iteració, 3' s'estén a la unió d'un nombre finit de conjunts. Així, una àlgebra és una col.lecció de subconjunts de   no buida que és tancada per les operacions de conjunts realitzades un nombre finit de vegades.

Justificació de la necessitat de les  -àlgebresModifica

Encara que a la pràctica sigui impossible realitzar infinites vegades un experiment, cal considerar teòricament aquesta possibilitat. Per exemple, suposem que tirem indefinidament una moneda i volem calcular la probabilitat d'obtenir cara alguna vegada. Sigui  ="obtenir alguna cara" i posem

 
Aleshores
 

Per què no considerar sempre tots subconjunts de   com esdeveniments?Modifica

Una pregunta natural és la següent: si   és una  -àlgebra, per què no prendre sempre  ? La resposta té que veure amb el fet que l'objectiu és assignar a cada esdeveniment la seva probabilitat, i no sempre es pot assignar una probabilitat a tots els subconjunts de  ; indiquem dues causes:

  1. Per les característiques de l'experiment aleatori. Suposem que juguem amb un dau trucat del que no coneixem les probabilitats dels diferents resultats. Només ens informen si ha sortit un número més gran o igual a 5, és a dir, de la realització o no de l'esdeveniment  ; després de moltes tirades, estimem que  . Amb aquesta informació, a part de  , només podem calcular la probabilitat  , però no podem calcular la probabilitat de treure 1 o 2, etc. Així, la  -àlgebra que cal considerar aquí és  [5]
  2. Per requeriments matemàtics. Si   és infinit no numerable, per exemple l'interval   o tots els nombres reals  , aleshores   és massa gran, o dit d'una altra manera, té massa elements, per definir-hi una probabilitat adient; utilitzant l'axioma de l'elecció i la hipòtesi del continu pot demostrar-se que no hi ha cap probabilitat   a  tal que  ,[6][7] amb la qual cosa, cap probabilitat de tipus contínu (uniforme, normal, etc.) pot estendre's a tot   de manera raonable.

ProbabilitatModifica

Una probabilitat és una aplicació   que compleix

  1.  .
  2. Per a qualsevol família numerable d'esdeveniments, , disjunts dos a dos:  ., tenim
     
    Aquesta propietat s'anomena  -additivitat.

Quan   és finit, aleshores es pot substituir 2 per la propietat d'additivitat (o additivitat finita):

2'. Per  , amb  , aleshores

 

ExempleModifica

Continuem amb l'exemple on tirem indefinidament una moneda i volem calcular la probabilitat de  ="obtenir alguna cara". Teníem   Notem que  correspon a obtenir   creus i després obtenir una cara, que té probabilitat  . D'altra banda, és clar que  . Llavors, per la  -additivitat de  ,

 
on hem utilitzat la fórmula de la suma d'una sèrie geomètrica de raó 1/2.

És interessar notar que el càlcul d'aquesta probabilitat l'hem pogut fer sense donar explícitament l'espai de probabilitat subjacent; ni tant sols hem dit quin era l'espai mostral. Això és habitual en moltes aplicacions de la probabilitat i l'estadística. Malgrat tot, el formalisme dels espais de probabilitat es pot fer palès (amb més o menys dificultat). Veurem dos models per a l'exemple que ens ocupa, un basat en els espais producte i l'altre en la mesura de Lebesgue a l'interval  ; ambdós models utilitzen eines de teoria de la mesura.

Modelització mitjançant un producte infinit d'espais de probabilitatModifica

Podem escriure un resultat de l'experiment com una successió infinita de zeros i uns, on 0 indica que ha sortit creu i 1 que ha sortir cara. Així, per exemple,   indicarà que primer ha sortir una cara, després una creu, després dues cares, etc. Escrivim

 
i designem per   el producte cartesià infinit
 
Ara, per tal de construir una  -àlgebra sobre  , posem
 
Un conjunt producte de la forma  , on  , per a tot   excepte per un nombre finit d'índexs, posem,   , s'anomena cilindre de base  . Per exemple si   el cilindre de base   serà el conjunt de les successions que comencen per 0 , a continuació ve un 1, i després qualsevol altre cosa:  , que equivalen a tots els resultats on primer surt creu seguida de cara, i no ens importa el que ve al darrere. La  -àlgebra engendrada pels cilindres, és a dir, la mínima  -àlgebra que conté tots els cilindres s'anomena  -àlgebra producte i es designa per  ; anomenen   aquesta  -àlgebra.

Ara anem a construir una probabilitat sobre  . Amb aquest objectiu, per a tot   anomenem  la probabilitat corresponent al llançament d'una moneda:

 
Per a un cilindre   de base  definim
 
Es demostra que aquesta funció s'estén de manera única a una probabilitat sobre la  -àlgebra  .

Finalment, veiem com els càlculs que hem fet abans encaixen en aquest model. Primer  , ja que   és el cilindre de base

 
La seva probabilitat és
 
Per a més detalls sobre aquesta construcció, vegeu .[8]

Modelització mitjançant la mesura de Lebesgue a  Modifica

Podem identificar cadascuna de les successions de zeros i uns amb un nombre de l'interval   considerant-la com l'expressió d'un nombre en base 2. Concretament, si tenim la successió   podem afegir un 0, davant i fer

 
Hi ha la dificultat que els nombres racionals de   (excepte el 0) de la forma   tenen dues expressions en base 2: per exemple,  , això és, una expressió amb 0 a partir de determinat lloc, i l'altre amb 1 a partir de cert lloc. Normalment es pren el conveni, que nosaltres també prendrem d'utilitzar l'expressió amb 1 a partir de cert lloc. Aleshores prenem com espai mostral  . El fet que hi hagi successions que no apareguin (les corresponents a expressions amb tot zeros a partir d'un cert lloc) no és important a efectes del model, ja que corresponen als només n'hi ha un nombre numerable.

Sobre el conjunt   considerem la  -àlgebra de Bórel, que és la menor  -àlgebra sobre   que conté tots els intervals inclosos en  . Finalment, com a probabilitat   prenem la distribució uniforme contínua sobre  , o equivalentment, la mesura de Lebesgue a  , que és la mesura tal que

 
En aquest context,  consistirà en tots els números que (en base 2) comencin per 0,1 i que a continuació tinguin algun 1 (pel conveni anterior), que correspon a l'interval  . Anàlogament,  , etc. És clar que  .

Per a més explicacions, vegeu.[9][10]

ReferènciesModifica

  1. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Springer, Berlin, 1933. Hi ha traducció anglesa: A. N. Kolmogorov. Foundations of the Theory of Probability. 2a. edició. Nova York: Chelsea Publishing Company, 1956. 
  2. Von Plato, Jan.. Creating modern probability : its mathematics, physics, and philosophy in historical perspective. Cambridge [England]: Cambridge University Press, 1994. ISBN 0-521-44403-9. 
  3. Malliavin, P.. Intégration et probabilités : analyse de Fourier et analyse spectrale.. París: Masson, 1982. ISBN 2-225-69058-8. 
  4. Bonet, Eduard. Espais de probabilitat finits. Editorial Lavínia, S. A., 1969. 
  5. Aquí es veu que la proposta d'Eduard Bonet d'anomenar "observables" als esdeveniments era una bona proposta terminològica, que dissortadament no va quallar. Vegeu E. Bonet, Espais de probabilitat finits, Editorial Lavínia, 1969
  6. Birkhoff, Garret. Lattice Theory. 3rd edition. AMS, 1984, p. Thm. 13, p. 266. 
  7. Billingsley, Patrick.. Probability and measure. 2nd ed. Nova York: Wiley, 1986, p. 41. ISBN 0-471-80478-9. 
  8. Chow, Yuan Shih; Teicher, Henry. Probability theory : independence, interchangeability, martingales. Nova York: Springer-Verlag, 1978, p. 182. ISBN 0-387-90331-3. 
  9. Dudley, R. M.. Real analysis and probability. Cambridge: Cambridge University Press, 2002, p. Cap. 8. ISBN 0-511-04208-6. 
  10. Billingsley, Patrick.. Probability and measure. 2nd ed. Nova York: Wiley, 1986, p. Cap. 1. ISBN 0-471-80478-9.