Distribució normal

distribució de probabilitat de variable contínua

La distribució normal, també coneguda com a distribució gaussiana, és una important família de distribucions de probabilitat contínues i és aplicable a molts camps. Cada membre de la família queda definit per dos paràmetres: la localització o mitjana i l'escala o desviació estàndard , i es denota per . Un cas particular és la distribució normal estàndard, per la qual la mitjana és 0 i la desviació estàndard és 1. Fou Carl Friedrich Gauss qui descobrí la distribució normal quan analitzava dades astronòmiques, i definí l'equació de la seva funció de densitat de probabilitat.[1] Aquesta distribució també s'anomena campana de Gauss, atès que el gràfic de la seva funció de densitat de probabilitat s'assembla a una campana.

Infotaula distribució de probabilitatDistribució normal
Funció de densitat de probabilitat

La corba vermella és la distribució normal estàndard
Funció de distribució de probabilitat
Tipusdistribution de Tweedie, Distribució t de Student, distribució normal multivariant, família exponencial, Distribució normal esbiaixada, Distribució estable, contaminated normal distribution (en) Tradueix, distribució univariant i distribució de probabilitat contínua Modifica el valor a Wikidata
EpònimCarl Friedrich Gauß Modifica el valor a Wikidata
Notació
ParàmetresμR — mitjana (posició)
σ² > 0 — variància (escala al quadrat)
Suport Modifica el valor a Wikidata
fdp
FD
Quantil
Esperança matemàtica Modifica el valor a Wikidata
Mediana Modifica el valor a Wikidata
Moda Modifica el valor a Wikidata
Variància Modifica el valor a Wikidata
Coeficient de simetria Modifica el valor a Wikidata
Curtosi Modifica el valor a Wikidata
Entropia
FGM Modifica el valor a Wikidata
FC Modifica el valor a Wikidata
Informació de Fisher
MathworldNormalDistribution Modifica el valor a Wikidata

La importància de la distribució normal en les ciències naturals i del comportament rau en el teorema central del límit. Aquest teorema estableix que la suma d'un elevat nombre d'efectes independents segueix (aproximadament) una distribució normal. D'aquesta manera, és útil en processos en els quals hi ha errors de mesura que es deuen a un elevat nombre de factors, tots ells contribuint una petita porció a l'error total. En la teoria de probabilitat i d'inferència estadística, el teorema central del límit garanteix que un llarg nombre d'estadístics segueixen la distribució normal, si més no aproximadament. Per exemple, la mitjana mostral o els estimadors màxim versemblants segueixen aproximadament una distribució normal sota certes condicions matemàtiques que són força generals.[2]

Funció de densitat de probabilitat

modifica
 

on σ és la desviacio estàndard, μ és l'esperança matemàtica, i

 

és la funció de densitat de probabilitat de la distribució normal estàndard, és a dir, la distribució normal amb μ = 0 i σ = 1. Per comprovar que la integral de   sobre la recta real és igual a 1 vegeu la integral de Gauß.[3][4]

Funció de distribució

modifica

La funció de distribució d'una distribució normal   és  Per a una distribució normal estàndard   s'acostuma a utilitzar la notació   per designar la seva funció de distribució. Concretament,  Cal notar que  

(Vegeu mes avall l'apartat sobre estandardització de variables normals).[5][6]

Es important remarcar que la funció de distribució no és pot expressar en termes de funcions elementals (polinomis, exponencials, funcions trigonomètriques,..) Vegeu un comentari sobre la demostració d'aquesta propietat a l'article.[7] Per aquest motiu, de cara a la utilització pràctica de les distribucions normals i els càlculs numèrics corresponents, les aproximacions a la funció de distribució són molt importants i s'han utilitzat tècniques d'integració numèrica, sèries de Taylor, sèries asimptòtiques o fraccions contínues. Vegeu Patel and Read per una revisió d'aquestes aproximacions.[8]

Funcions generadores

modifica

Funció generadora de moments

modifica

La funció generadora de moments es defineix com a l'esperança matemàtica de exp(tX). Per la distribució normal la funció generadora de moments és:[6]

 

Funció característica

modifica

La funció característica es defineix com a l'esperança matemàtica de exp(itX), on i és el nombre imaginari, i t és un nombre real. Per la distribució normal la funció característica és:[9][10]

 

Propietats

modifica

Algunes propietats:

  1. Si   i   i   són nombres reals, aleshores   (veure esperança i variància).[11]
  2. Si   i   són variables aleatòries normals independents, aleshores:[12][11]
    • La seva suma segueix la distribució normal amb  .
    • La seva diferència segueix una distribució normal amb  .
    •   i   són independents si i només si  .
    • La divergència de Kullback-Leibler,[13]  
  3. Si   i   són variables aleatòries normals independents, aleshores:[12]
    • El seu producte   segueix una distribució and funció de probabilitat de densitat   donada per
        on   és una funció de Bessel modificada de segon tipus.
    • El seu qüocient segueix una distribució de Cauchy amb  .
  4. Si   són variables aleatòries independents idènticament distribuïdes amb distribució normal estàndard, aleshores   segueix una distribució khi quadrat amb n graus de llibertat.[14]

Estandardització de variables aleatòries normals

modifica

Com a conseqüència de la propietat 1, és possible relacionar totes les variables aleatòries normals amb la distribució normal estàndard; aquest procediment s'anomena estandardització d'una variable normal.

Si  , aleshores

 

és una variable aleatòria normal estàndard:  . Una conseqüència important és que la funció de distribució de   és :

 

on   és la funció de distribució normal estàndard: per a tot real t,

 

D'altra banda, si   és una variable aleatòria normal estàndard,  , aleshores

 

és una variable aleatòria normal amb esperança   i variància  .

La funció de distribució normal estàndard   ha estat tabulada, i les altres funcions de distribució normals en són simples transformacions, tal com hem explicat anteriorment. Per tant, un pot emprar valors tabulats de la funció de distribució normal estàndard per a trobar el valor de la funció de distribució de qualsevol altra distribució normal.

Moments

modifica

Alguns dels primers moments de la distribució normal són:

Número Moment Moment central Cumulant
0 1 1
1   0  
2      
3   0 0
4     0

Tots els cumulants de la distribució normal a partir del segon són zero.

Moments d'una variable normal centrada

modifica

Per a les variables aleatòries normals centrades tenim la següent fórmula per als moments de qualsevol ordre. Si   aleshores [15]   Notem que   on   denota el doble factorial de  . Així, de forma més compacta podem escriure  


Alternativament, usant la relació del doble factorial amb la funció gamma, per a   parell,  on   és la funció gamma.

De la fórmula pels moments de   és dedueix que si  , aleshores

 

Cas general

modifica

Sigui  , i designem per   el moment d'ordre   . Aleshores [16]  on   designa la part entera del nombre  .

Recurrència pels moments d'una variable normal


Amb les notacions anteriors tenim [16] 

Expressió compacta dels moments


Suposem que  . Aleshores  on   designa la derivada d'ordre  -èssim de la funció  , amb el conveni   . Aquesta fórmula és demostra mitjançant la regla de Leibniz per provar que la funció  compleix la recurrència (*), amb   i  .[17]

Referències

modifica
  1. Havil, Julian. Gamma: exploring Euler's constant. Princeton, N.J.: Princeton Univ. Press, 2003. ISBN 978-0-691-09983-5. 
  2. «3.1. Normal». A: Estadística I. Universitat de València [Consulta: 7 febrer 2024]. Arxivat 2024-02-07 a Wayback Machine.
  3. Dodge, Yadolah. Statistique: Dictionnaire encyclopédique (en francès). Springer Science & Business Media, 2004, p. 309. ISBN 978-2-287-21325-0. 
  4. Lifshits, M. A.. Gaussian Random Functions (en anglès). Springer Science & Business Media, 1995-02-28, p. 2. ISBN 978-0-7923-3385-2. 
  5. Bogaert, 2020, p. 122.
  6. 6,0 6,1 Cramer, 2013, p. 50.
  7. Gasull, Armengol; Utzet, Frederic «Approximating Mills ratio» (en anglès). Journal of Mathematical Analysis and Applications, 420, 2, 12-2014, pàg. 1832–1853, Remark 4. DOI: 10.1016/j.jmaa.2014.05.034.
  8. Patel, Jagdish K.; Read, Campbell B. Handbook of the normal distribution. 2nd ed., rev. and expanded. New York Basel Hong Kong: M. Dekker, 1996. ISBN 978-0-8247-9342-5. 
  9. Cramer, 2013, p. 51.
  10. Bogaert, 2020, p. 123.
  11. 11,0 11,1 Ross, Sheldon M. Initiation aux Probabilités. Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, 2007, p. 235. 
  12. 12,0 12,1 Fuchs, Aimé «Plaidoyer pour la Loi Normale» (  PDF) (en francès). Pour la Science, 1995, pàg. 17. Arxivat de l'original el 2014-10-06 [Consulta: 7 febrer 2024].
  13. Allison, Lloyd. «Normal, Gaussian» (en anglès), 2012. Arxivat de l'original el 2023-10-02. [Consulta: 2 març 2017].
  14. Bussab, Wilton de O.; Morettin, Pedro A. Estatística Básica (en portuguès). São Paulo: Saraiva, 2010, p. 77. ISBN 9788502207172. 
  15. Nualart, David; Sanz, Marta. Curs de probabilitats. Barcelona: PPU, 1990, p. 116. ISBN 84-7665-718-8. 
  16. 16,0 16,1 Willink, R. «Normal moments and Hermite polynomials» (en anglès). Statistics & Probability Letters, 73, 3, 7-2005, pàg. 271–275. DOI: 10.1016/j.spl.2005.03.015.
  17. Olver, Peter J. Applications of Lie Groups to Differential Equations. Springer, 2000, p. 318–319. ISBN 9780387950006. 

Bibliogafia

modifica

Vegeu també

modifica