Obre el menú principal

Funció característica (teoria de la probabilitat)

En teoria de la probabilitat, la funció característica d'una variable aleatòria real és una eina matemàtica que proporciona informació completa sobre la distribució de probabilitat de la variable aleatòria i sovint en facilita l'estudi. A més, amb les funcions característiques es disposa, gràcies al teorema de continuïtat de Lévy, d'un mètode senzill i potent per estudiar la convergència en distribució d'una successió de variables aleatòries.

Donada una variable aleatòria real definida sobre un espai de probabilitat , la seva funció característica és la funció (és a dir de valors complexos) definida, per a tot real t, per la relació següent (on , i denota l'operador esperança):


Expressions de la funció característicaModifica

Expressions integrals generalsModifica

Per definició de   :

 

Denotant per   la distribució de probabilitat de la variable aleatòria X:

 
(segons el teorema de la mesura imatge)

Remarques:

  • la definició (1) té sentit perquè per a tot real t, la variable aleatòria complexa
 
és fitada (té mòdul 1) i per tant és integrable respecte a la mesura de probabilitat   ;
  • l'equació (2) significa que la funció característica d'una variable aleatòria real X és la transformada de Fourier de la seva distribució de probabilitat  , mesura de probabilitat sobre l'espai mesurable (o probabilitzable)  , on   és la sigma-àlgebra de Borel de  

Casos particulars importantsModifica

  • Quan X és discreta, amb valors   tals que per a tot k,   aleshores:
 
(suma finita o sèrie absolutament convergent)
 
(integral de Lebesgue; en els casos usuals coincideix amb la integral de Riemann)

Propietats elementalsModifica

La funció característica d'una variable aleatòria real X:

  • compleix la relació:
 
 
  • és hermítica:
  (on   és el conjugat del nombre complex z)
  • compleix la identitat:
 
i en particular :  ;
per tant si   i   tenen la mateixa distribució (dita simètrica), la funció   és parella amb valors reals

(la tercera propietat es dedueix del teorema de convergència dominada; les altres són immediates)

Exemples clàssicsModifica

Distribució degeneradaModifica

Si la variable aleatòria X segueix la distribució degenerada de valor   (és a dir:  ; X és constant quasi segurament) aleshores:

 

Distribució binomialModifica

Si la variable aleatòria X segueix la distribució binomial   (on  ) aleshores:

 

d'on es dedueix (fórmula del binomi de Newton):

 

Distribució de BernoulliModifica

En particular, si la variable aleatòria X segueix la distribució de Bernoulli   (on  ) aleshores:

 

Distribució geomètricaModifica

Si la variable aleatòria X segueix la distribució geomètrica   (on  ) aleshores:

 

Distribució de PoissonModifica

Si la variable aleatòria X segueix la distribució de Poisson   (on  ) aleshores:

 

Distribució uniforme contínuaModifica

Si la variable aleatòria X segueix la distribució uniforme contínua   (on   i a < b) aleshores:

  si  , i  .

En particular, si X segueix la distribució   (on  ) aleshores:

  si  , i  .

Distribució exponencialModifica

Si la variable aleatòria X segueix la distribució exponencial   (on  ) aleshores:

 

Distribució normal estàndardModifica

Si la variable aleatòria X segueix la distribució normal estàndard   aleshores:

 

Distribució de Cauchy simètricaModifica

Si la variable aleatòria X segueix la distribució de Cauchy simètrica   (on  ) aleshores:

 

Per demostrar-ho, es pot utilitzar el teorema dels residus (anàlisi complexa).

AplicacionsModifica

Cas de la distribució normal generalModifica

Sigui una variable aleatòria X amb distribució normal   (on  ). Aleshores:

 .

Cas de la distribució de Cauchy generalModifica

Sigui una variable aleatòria X amb distribució de Cauchy   (on  ). Aleshores:

 .

Perquè la funció característica és anomenada aixíModifica

Com el seu nom ho indica, la funció característica d'una variable aleatòria (real) en caracteritza la distribució de probabilitat: dues variables aleatòries segueixen la mateixa distribució si i només si tenen la mateixa funció característica: és el teorema d'unicitat (vegeu infra).

Per aquesta raó, la funció característica d'una variable aleatòria X també és anomenada funció característica de la distribució d'X. Per exemple, es pot parlar de la funció característica de la distribució normal.

Teorema d'inversióModifica

Donada una variable aleatòria real X, es denota per   la seva funció de distribució. Per a tot parell   de punts de continuïtat de   es compleix la relació següent:

 

Això és una variant probabilista del teorema d'inversió de la transformació de Fourier.

Teorema d'unicitatModifica

El teorema d'inversió permet reconstruir (almenys en teoria) la funció de distribució d'una variable aleatòria a partir de la seva funció característica. Una conseqüència és l'important teorema d'unicitat:

Dues variables aleatòries reals són idènticament distribuïdes si i només si tenen la mateixa funció característica.

Utilització pràcticaModifica

El més sovint, el teorema d'unicitat s'utilitza de la manera següent per determinar la distribució de probabilitat d'una variable aleatòria real X: es calcula la funció característica   i es reconeix la funció característica d'una distribució clàssica que és, per tant, la distribució d'X (per exemple, vegeu infra la prova de l'estabilitat d'algunes distribucions de probabilitat).

Funció característica de la suma de variables aleatòries independentsModifica

Suma de dues variables aleatòries independentsModifica

Donades dues variables aleatòries reals independents X i Y (definides sobre el mateix espai de probabilitat), es compleix la relació següent:

 .

En efecte,

 .

Atès que X i Y són independents, també ho són, per a tot real t, les variables aleatòries   i  ; per tant:

 .

Remarca: el recíproc és fals. Existeixen variables aleatòries no independents les funcions característiques de les quals compleixen aquesta relació. Heus aquí un exemple ben conegut: donada una variable aleatòria X amb distribució de Cauchy simètrica   :

 

Però és clar que X i X no són independents.

GeneralitzacióModifica

Donades n variables aleatòries reals independents   (definides sobre el mateix espai de probabilitat), es compleix la relació següent:

 
(per consegüent, el producte de funcions característiques també és una funció característica).

Se sap que la transformada de Fourier d'un producte de convolució és el producte ordinari de les transformades de Fourier.

Tenint en compte el teorema d'unicitat, la relació precedent s'interpreta així: si les variables aleatòries   són independents, aleshores:

  : la distribució de probabilitat de la suma és el producte de convolució de les distribucions dels termes.

Per determinar la distribució de la suma, els dos punts de vista (producte de convolució de les distribucions de probabilitat, producte ordinari de les funcions característiques) són matemàticament equivalents. Tanmateix, el mètode de les funcions característiques és generalment més simple d'utilitzar.

Aplicació: estabilitat d'algunes distribucions de probabilitatModifica

Siguin n variables aleatòries reals independents  .

  • si per a tot k,   segueix la distribució binomial  , aleshores   segueix la distribució binomial  
  • si per a tot k,   segueix la distribució de Poisson  , aleshores   segueix la distribució de Poisson  
  • si per a tot k,   segueix la distribució normal  , aleshores   segueix la distribució normal  
  • si per a tot k,   segueix la distribució de Cauchy  , aleshores   segueix la distribució de Cauchy  


Funció característica i momentsModifica

Sigui una variable aleatòria real X.

Teorema directeModifica

Si el moment d'ordre m d'X existeix (finit), aleshores:

  • la funció característica   és de classe   en  
  •  , i per tant:
  •  , on  .

Recíproc (parcial)Modifica

Si   és m vegades derivable en el punt 0, aleshores:

  • per a tot natural k tal que   el moment d'ordre k d'X existeix i:
  •  

En particular, si   és infinitament derivable en el punt 0, aleshores tots els moments d'X existeixen.

ExempleModifica

Si la variable aleatòria X segueix la distribució de Poisson  , la seva funció característica és infinitament derivable en   : tots els moments d'X existeixen. Es comprova fàcilment que:

 .

Per tant:

 ,  , i  

(també es poden calcular directament com a sumes de sèries convergents).

Teorema de continuïtat de LévyModifica

Aquest teorema permet estudiar la convergència en distribució de les successions de variables aleatòries per mitjà de la convergència puntual de les seves funcions característiques.

EnunciatModifica

Una successió   de variables aleatòries reals convergeix en distribució cap a una variable aleatòria real X si i només si:

  quan  , on
  és una funció contínua en el punt 0.

En aquest cas,   és la funció característica d'X.

Versió més simpleModifica

Una successió   de variables aleatòries reals convergeix en distribució cap a una variable aleatòria real X si i només si:

  quan  .

La segona versió exigeix que sigui coneguda per endavant la distribució límit.

UtilitzacionsModifica

Heus aquí unes quantes aplicacions clàssiques del teorema de continuïtat de Lévy.

Teorema del límit centralModifica

Una aplicació clàssica del teorema de continuïtat de Lévy és la prova del teorema del límit central.

Teorema de convergència de PoissonModifica

Una segona aplicació clàssica és la prova del teorema de convergència de Poisson:

Sigui una successió real   tal que   (on  ) i per a tot n,  .
Si per a tot n, la variable aleatòria   segueix la distribució binomial  , aleshores la successió   convergeix en distribució cap a una variable aleatòria X amb distribució  .

Llei feble dels grans nombresModifica

Una tercera aplicació clàssica és la prova de la llei feble dels grans nombres per a variables aleatòries integrables (és a dir amb esperança finita) i independents. S'enuncia així:

Donada una successió   de variables aleatòries reals (definides sobre el mateix espai de probabilitat) independents i idènticament distribuïdes (abreujadament i.i.d), amb esperança finita, es posa:  .
Si es defineix per a tot n:
 , on  ,
aleshores la successió   convergeix en distribució cap a la constant  .

Remarca: se sap que la convergència en distribució cap a una constant equival a la convergència en probabilitat cap a la mateixa constant.

BibliografiaModifica

  • (anglès) Lukacs (Eugen) — Characteristic Functions. Griffin, London, 1960 (primera edició); 1970 (segona edició revisada i ampliada).
  • (alemany) (francès) Rényi (Alfred) — Wahrscheinlichkeitsrechnung, mit einem Anhang über Informations-theorie. — V. E. B. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1962. Traducció al francès: Calcul des probabilités avec un appendice sur la théorie de l'information. Dunod, Paris, 1966.
  • (anglès) Feller (William) — An Introduction to Probability Theory and Its Applications. (vol. 2) — John Wiley & Sons, New York, 1971.

Vegeu tambéModifica