Distribució de probabilitat

funció matemàtica amb què es calcula la probabilitat de cada resultat d'un experiment

En probabilitats i estadística les expressions distribució de probabilitat o llei de probabilitat tenen diversos sentits: per nombrosos autors, són sinònimes de Probabilitat, però molts altres autors les reserven per a les probabilitats a , . Però hi ha unanimitat en els termes llei o distribució d'una variable aleatòria o vector aleatori per referir-se a la probabilitat sobre induïda per la variable aleatòria o vector aleatori. Atès que hi ha una correspondència bijectiva entre les probabilitats sobre i les funcions de distribució, es pot donar la distribució d'una variable aleatòria o vector mitjançant la seva funció de distribució; si bé això és interessant des del punt dels resultats generals, per a distribucions de variables o vectors concrets (normals, binomials, etc) les funcions de distribució són sovint feixugues d'utilitzar, i llavors és molt habitual fer servir la funció de densitat (cas absolutament continu), la funció de probabilitat (cas discret), la funció característica o alguna altra transformació que determini unívocament la distribució.

Una funció de distribució normal, coneguda pel nom de «campana de Gauss» en honor de Carl Friedrich Gauss (1777–1855).
Percentatges de probabilitat a la distribució normal.

Definició 1Modifica

Molts autors [1][2] utilitzen distribució de probabilitat o llei de probabilitat per designar una probabilitat o mesura de probabilitat en un espai mesurable general  , on   és un conjunt arbitrari i   és una família de subconjunts d'  que té estructura de  -àlgebra:

  1.  .
  2. Si  , llavors,  , on   designa el complementari del conjunt  .
  3. Si tenim una col·lecció numerable d'esdeveniments,  , aleshores  .

En aquest context, una distribució de probabilitat o llei de probabilitat és una aplicació   que compleix

  1.  .
  2. Per a qualsevol família numerable d'esdeveniments, , disjunts dos a dos: si  , tenim
     

Per a molts autors, una distribució de probabilitat o llei de probabilitat és una probabilitat en un espai mesurable general  .

Definició 2Modifica

Per a d'altres autors,[3] distribució de probabilitat o llei de probabilitat es reserva per a probabilitats sobre els nombres reals   o sobre  .

Per a d'altres autors, una distribució de probabilitat o llei de probabilitat és una probabilitat sobre l'espai mesurable   on   és la  -àlgebra de Borel sobre  ,  .

ExemplesModifica

1. Una distribució de probabilitat normal estàndard ve donada per

 
En particular, per a   l'interval   té probabilitat
 
2. Una distribució de probabilitat binomial de paràmetres   i   és la probabilitat determinada per:
 
i   si  . Aleshores, per a qualsevol   ,
 

Observació sobre la terminologia: Habitualment, quan es parla de distribucions conegudes amb un nom específic, com en els exemples anteriors, en lloc de dir distribució de probabilitat normal o distribució de probabilitat binomial només es diu distribució normal o distribució binomial.

Funcions de distribució unidimensionalsModifica

Article principal: Funció de distribució

Sigui   una probabilitat sobre  . La seva funció de distribució és la funció   definida per:

 
Té les següents propietats:[4]
(a)   és una funció monòtona no decreixent (també es diu que és creixent): si   aleshores  .
(b)   és contínua per la dreta en tot punt, és a dir, per a qualsevol  .
(c) 

Per posterior us, és convenient observar que, si  , atès que

 

tenim que

 

Aquestes tres propietats donen lloc a una nova definició: una funció   que compleixi (a), (b) i (c) es diu que és una funció de distribució.

Donada una funció de distribució   podem construir una distribució de probabilitat   a   definint-la primer sobre els intervals de la forma  :

 
i estenent-la a tot  [5] per les tècniques habituals de Teoria de la mesura (Teorema de Cararthéodory, etc.). Tenim

Equivalència entre distribucions de probabilitat a   i funcions de distribució. Hi ha una correspondència bijectiva entre les distribucions de probabilitat a   i les funcions de distribució.

ExemplesModifica

1. Distribució normal estàndard: La funció de distribució és

 
És important assenyalar que aquesta integral no es pot expressar en termes de funcions elementals: polinomis,funcions racionals, funcions trigonomètriques, exponencials o logarítmiques.

2. Distribució de probabilitat binomial de paràmetres   i  : la funció de distribució és una funció esglaonada:

 

Funcions de densitat, funcions de probabilitat, etcModifica

Com hem vist als exemples, la manera més habitual de donar una probabilitat a   és mitjançant una funció de densitat (cas absolutament continu) o una funció de probabilitat (cas discret). També utilitzar la funció característica o una altra transformació similar.

Distribució o llei d'una variable aleatòriaModifica

Sigui   un espai de probabilitat i   una variable aleatòria. La distribució de probabilitat de  , o senzillament, distribució de  , o llei de   és la probabilitat a   definida per

 
La funció de distribució   de   s'anomena la funció de distribució de  , i ve donada per
 

Funció de distribució d'una variable aleatòria. Donada una variable aleatòria  , la seva funció de distribució és la funció   definida per

 

Ens podem preguntar si, donada una distribució concreta (per exemple, normal, o binomial), la frase <<Sigui   una variable aleatòria amb funció de distribució  >> sempre és correcta, és a dir, si sempre existeix una variable aleatòria amb la distribució demanada. La resposta és afirmativa:

Donada una funció de distribució  , existeix un espai de probabilitat   i una variable aleatòria   tal que la seva funció de distribució és  .



Igualtat en distribució de variables aleatòriesModifica

Considerem dues variables aleatòries   i  , que poden estar definides en espais de probabilitat diferents, i designem per   i   les seves distribucions. Es diu que   i   son iguals en distribució o en llei si  . En aquest cas, s'escriu   Evidentment, si   i   són les funcions de distribució corresponents, aquesta propietat és equivalent a   .

ExemplesModifica

  1. Juguem amb un dau perfecte i  considerem la variable   que val 1 si surt parell i 0 si surt senar .Tirem una moneda perfecta i sigui   i   la variable que pren el valor 1 si surt cara i 0 si surt creu. Ambdues variables estan definides en espais de probabilitat diferents però són iguals en llei.
  2. Dues variables poden estar definides en el mateix espai de probabilitat i ser iguals en llei, però ser distintes com aplicacions. Per exemple, tirem dos daus i   representa el resultat del primer dau i   el del segon, aleshores ambdues variables són iguals en llei, però si surt 1 al primer dau i 2 al segon dau,  

Igualtat quasi segura de variables aleatòriesModifica

Es diu que dues variables aleatòries   (definides en el mateix espai de probabilitat) són iguals quasi segurament o iguals amb probabilitat 1 si  . S'escriu

 

Si dues variables són iguals quasi segurament, aleshores són iguals en llei. El recíproc no és cert, tal com mostra l'exemple 2 de l'apartat anterior.

Convergència en llei o distribució de variables aleatòriesModifica

Considerem una successió de variables aleatòries   i sigui   una altra variable aleatòria, amb funcions de distribució   i   respectivament. Es diu que la successió convergeix en distribució o llei a   si

 
Un cas especialment important de convergència en llei és el Teorema central del límit.

Extensió a RnModifica

Considerem una probabilitat   a  . La seva funció de distribució és la funció   definida per

 

Per estudiar les seves propietats necessitem les següents notacions: Escriurem els elements de   en negretes; donats   i   direm que  , si   Per   ,

 
Figura 1. Descomposició d'un interval bidimensional

definim

 
Per exemple, si  ,   ,
 

Per  , amb  ,  , amb  ,

 
Vegeu la Figura 1.

Retornant al cas general, tenim

 
on  


Propietats de la funció de distribució n-dimensional

La funció   té les següents propietats:[6]

(a) Per a qualsevol parell   tenim que  
(b) És contínua per la dreta: per qualsevol  
 
(c)
 
i

 

Com en el cas unidimensional, aquestes propietats donen lloc a una nova definició: Una funció   que compleixi (a), (b) i (c) es diu que és una funció de distribució  -dimensional. A partir d'una d'aquestes funcions pot definir-se una probabilitat a   mitjançant

 
Llavors tenim una correspondència bijectiva entre les probabilitats a   i les funcions de distribució  -dimensionals.

Distribució o llei d'un vector aleatoriModifica

S'anomena distribució o llei d'un vector aleatori   a la probabilitat sobre   induïda per ell :

 
La funció de distribució de   és la funció   definida per
 

on, com és habitual amb els vectors aleatoris, les comes s'interpreten com interseccions:

 
Les definicions de igualtat en distribució i igualtat quasi segura de vectors aleatoris són iguals a les de variables aleatòries.

NotesModifica

  1. Bertsekas, Dimitri P.; Tsitsiklis, John N. Introduction to probability. 2nd ed. Belmont, Mass.: Athena Scientific, 2008, p. 6. ISBN 978-1-886529-23-6. 
  2. DeGroot, Morris H. Probabilidad y estadística. 2a. ed. Wilmington, Delawere, E.U.A.: Addison-Wesley Iberoamericaca, 1988, p. 13. ISBN 0-201-64405-3. 
  3. Sato, Ken-iti. Lévy processes and infinitely divisible distributions. Cambridge, U.K.: Cambridge University Press, 1999, p. 2. ISBN 0-521-55302-4. 
  4. Sanz, Marta. Probabilitats. Barcelona: Edicions Universitat de Barcelona, 1999, pp. 43-47. ISBN 84-8338-091-9. . Les demostracions estan fetes utilitzant variables aleatòries, però els arguments es traslladen directament al cas que estem tractant
  5. Sanz, Marta. Probabilitats. Barcelona: Edicions Universitat de Barcelona, 1999, p. 47. ISBN 84-8338-091-9. 
  6. Sanz, Marta. Probabilitats. Barcelona: Edicions Universitat de Barcelona, 1999, pp. 66-68. ISBN 84-8338-091-9. 

BibliografiaModifica

Johnson, N. L.; Kotz, S.; Kemp, A. W.. Univariate discrete distributions.. 2nd ed.. New York: Wiley, 1992. ISBN 0-471-54897-9. 

Johnson, N. L.; Kotz, S.; Balakrihsnan, N. Continuous univariate distributions, Vol 1. 2nd ed. Nova York: Wiley, ©1994-©1995. ISBN 0-471-58495-9. 

Johnson, N. L.; Kotz, S.; Balakrihsnan, N. Continuous univariate distributions, Vol2. 2nd ed. New York: Wiley, ©1994-©1995. ISBN 0-471-58495-9. 

Johnson, N. L.; Kotz, S.; Balakrihsnan, N. Discrete Multivariate Distributions. New York: Wiley, 1997. ISBN 0-471-12844-1. 

Kotz, S.; Balakrihsnan, N.; Johnson, N. L.. Continuous multivariate distributions. Vol. 1, Models and applications.. 2nd ed.. New York: Wiley, 2000. ISBN 0-471-65403-5. 






A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Distribució de probabilitat