Convergència absoluta

En matemàtiques, una sèrie (o de vegades una integral) de números es diu que convergeix absolutament si la suma dels valors absoluts dels termes (o integrands) és finita.

Definició formal

Es diu que $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ és absolutament convergent si la sèrie $\sum _{n=0}^{\infty }\left|a_{n}\right|<\infty$.

En altres paraules, la sèrie és absolutament convergent si la sèrie de valors absoluts és una sèrie convergent.

Convergència absoluta i convergència

La convergència absoluta implica la convergència, però l'afirmació recíproca no és certa.

Demostració

Suposem que $\sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|$ convergeix, i que $a_{n}\leq |a_{n}|$. Aleshores, pel criteri de comparació, si $|a_{n}|$ convergeix, llavors $a_{n}$ també ho fa. Per les propietats del valor absolut, podem considerar: $-|a_{n}|\leq a_{n}\leq |a_{n}|$ Sumem $|a_{n}|$ terme a terme en la desigualtat: $|a_{n}|-|a_{n}|\leq a_{n}+|a_{n}|\leq |a_{n}|+|a_{n}|$ És a dir, $0\leq a_{n}+|a_{n}|\leq 2|a_{n}|$. Ara apliquem $\sum _{n=0}^{\infty }$ membre a membre: $\sum _{n=0}^{\infty }0\leq \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}+|a_{n}|\leq \sum _{n=0}^{\infty }2|a_{n}|$ Per hipòtesi, $2\sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|$ convergeix. Llavors, pel criteri de comparació, $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}+|a_{n}|$ també convergeix.(1) Ara, considerem $a_{n}=a_{n}+|a_{n}|-|a_{n}|$: $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }[a_{n}+|a_{n}|-|a_{n}|]$ $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }[a_{n}+|a_{n}|]-\sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|$ $\sum _{n=0}^{\infty }[a_{n}+|a_{n}|]$ convergeix per (1). $\sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|$ convergeix per hipòtesi. Aleshores $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ convergeix per ser diferència de sèries convergents.

Convergència condicional

Si la sèrie $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ és convergent però no absolutament convergent, hom diu que la sèrie és condicionalment convergent. Això succeeix quan $\sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|$ és divergent.

Bibliografia

• Rudin, Walter. Principles of mathematical analysis (en anglès). 3a edició. Nova York: McGraw-Hill, 1976. ISBN 978-0070542358. 

Vegeu també

• Sèrie (matemàtiques)
• Convergència (successió matemàtica)
• Integral impròpia
• Convergència (sèries)