Convergència absoluta
Aquest article o secció no cita les fonts o necessita més referències per a la seva verificabilitat. |
En matemàtiques, una sèrie (o de vegades una integral) de números es diu que convergeix absolutament si la suma dels valors absoluts dels termes (o integrands) és finita.
Definició formalModifica
|
En altres paraules, la sèrie és absolutament convergent si la sèrie de valors absoluts és una sèrie convergent.
Convergència absoluta i convergènciaModifica
La convergència absoluta implica la convergència, però l'afirmació recíproca no és certa.
Demostració |
---|
Suposem que convergeix, i que . Aleshores, pel criteri de comparació, si convergeix, llavors també ho fa.
Per les propietats del valor absolut, podem considerar: Sumem terme a terme en la desigualtat: És a dir, . Ara apliquem membre a membre: Per hipòtesi, convergeix. Llavors, pel criteri de comparació, també convergeix.(1) Ara, considerem :
Aleshores convergeix per ser diferència de sèries convergents. |
Convergència condicionalModifica
Si la sèrie és convergent però no absolutament convergent, hom diu que la sèrie és condicionalment convergent. Això succeeix quan és divergent.
BibliografiaModifica
- Rudin, Walter. Principles of mathematical analysis (en anglès). 3a edició. Nova York: McGraw-Hill, 1976. ISBN 978-0070542358.