Obre el menú principal

Variable aleatòriaModifica

Hom defineix variable aleatòria com una funció que assigna un valor numèric real a cadascun dels esdeveniments d'una experiència aleatòria[1]

El conjunt dels valors possibles d'una variable aleatòria se'l coneix com a domini de la variable aleatòria. Quant a la notació, la variable aleatòria se sol indicar amb   (en majúscules) i el valor observat d'aquesta variable aleatòria se sol indicar amb   (és a dir, en minúscules).

Es diu "aleatòria" perquè el seu domini és constituït pels esdeveniments d'un experiment influït per l'atzar i se'n diu variable perquè pren valors numèrics que varien (o poden variar) d'un esdeveniment a l'altre.

Normalment es fan servir les lletres majúscules,  per denotar les variables aleatòries.

Per exemple:

Considerem l'experiència aleatòria del llençament de dos daus. El conjunt de resultats possibles d'aquesta experiència és  

Podem considerar la variable alatòria   que assigna a cada esdeveniment de l'experiència la suma dels punts dels dos daus, és a dir  =suma dels punts dels dos daus.

L'esdeniment {dau1=1 i dau2=3} tindrà assignat el valor real 4 en aquesta variable que hem definit.

En aquest exemple els valors possibles de la variable aleatòria serien: 

Tipus de variables aleatòriesModifica

Les variables aleatòries poden ser de dos tipus: discretes i contínues.

Una variable aleatòria s'anomena discreta si té un nombre finit de possibles valors, o bé, en cas de tenir-ne infinits com a possibles, si aquests poden ser ordenats seqüencialment(conjunt de valors infinit numerable).

Usualment els valors que pren una variable aleatòria discreta són nombres enters.

Exemples de variables aleatòries discretes

  • La que hem vist anteriorment del llençament de dos daus:  =suma dels punts dels dos daus.
  • La distribució binomial, per les seves aplicacions, és la més important de les distribucions discretes de probabilitat.

Una variable aleatòria s'anomena contínua si els seus possibles valors són tots els nombres reals d'un interval.

Quan treballem amb variables aleatòries que representin alguna mesura física, aquesta podrà prendre valors, teòricament, a tota una escala contínua. A la pràctica el procés efectiu de mesura comportarà una tabulació.

Moltes de les variables d'estudis estadístics reals poden ser formalitzades amb el model d'una variable aleatòria contínua:

  • La mesura del temps d'avanç o retard amb què un tren arriba a la seva destinació.
  • El pes dels nadons en una població.
  • Les alçades de la població adulta.
  • La fracció de massa que s'ha desintegrat per unitat de temps en una substància radioactiva.

Per especificar completament una variable aleatòria   hom necessita saber:

  • El conjunt de possibles valors  
  • La probabilitat  

Variable aleatòria discretaModifica

Intuïtivament, una variable aleatòria és discreta si el seu conjunt de valors possibles es pot enumerar, tot i que el nombre de valors possibles no ha de ser pas finit. Per exemple, una variable aleatòria que pot prendre els valors   (on   indica que la seqüència segueix indefinidament).

Matemàticament, una variable aleatòria és discreta si la seva mesura de probabilitat està dominada per la mesura comptadora. La distribució d'una variable discreta sol representar-se amb la seva funció de distribució

 

o amb la funció de probabilitat

 .

És a dir, la funció de distribució permet calcular probabilitats acumulatives i la funció de probabilitat permet calcular quina és la probabilitat que la variable aleatòria prengui un cert valor.

ExempleModifica

Suposem que llencem dues monedes a l'aire. Indiquem una cara amb c i una creu amb s. Els possibles resultats de l'experiment són observar dues cares (cc), una cara seguida d'una creu (cs), una creu seguida d'una cara (sc) i dues creus (ss).

Ω = { cc, cs, sc, ss }

Sigui X la variable aleatòria que identifica el nombre de cares obtingudes en el llançament. És a dir, X és la següent funció dels elements d'Ω:

 
 
 

El domini de X és   = { 0, 1, 2 }. O sigui, és una variable discreta, doncs només pot prendre els valors 0, 1 i 2.

La funció de probabilitat és  . La funció de distribució ve donada per  .

Variable aleatòria continuaModifica

Intuïtivament, una variable aleatòria és contínua si els valors que pot prendre no es poden enumerar. Per exemple, una variable que pot prendre com a valor qualsevol nombre real. En aquest cas l'espai mostral Ω té un nombre infinit de punts.

Matemàticament, una variable aleatòria és contínua si la seva mesura de probabilitat està dominada per la mesura de Lebesgue. La distribució d'una variable contínua sol representar-se amb la seva funció de distribució

 

o amb la funció de densitat de probabilitat (pdf)

 ,

on   és la derivada respecte a la mesura de Lebesgue.

És important també definir el concepte de succés. En el cas continu s'entén per succés el conjunt de punts d'un interval determinat pels valors de la variable, per exemple tots els valors entre   i  . La probabilitat d'aquest succés és precisament el producte   amb   la pdf. Podem escriure això com

 

I com a conseqüència tenim que si l'espai mostral és l'interval   (que pot ser  ), aleshores

 

Fixem-nos que podem escriure la funció de distribució com (suposem que l'espai mostral és  ):

 

La funció de distribució compleix les següents propietats:

  1.  
  2.   és una funció creixent  
  3.  
  4. Si   és contínua en un punt  , aleshores  

ExempleModifica

El pes d'una persona és una variable contínua, assumint que podem mesurar el pes amb infinita precisió. Per exemple, podríem caracteritzar el pes amb una distribució normal amb mitjana 70 i desviació estàndard 10.

La distribució uniforme, si suposem que l'espai mostral és  , la pdf ve definida per:

 

i

 

Funcions de variables aleatòriesModifica

Aplicar una funció a una variable aleatòria resulta en una variable aleatòria. Més formalment, si tenim una variable aleatòria X que assigna elements de Ω a elements de R, i una funció mesurable f: RR, aleshores Y = f(X) també és una variable aleatòria, ja que la composició de funcions mesurables també és mesurable. La funció de distribució de Y és

 

Exemple 1Modifica

Sigui X una variable aleatòria contínua que pren valors en els nombres reals, i sigui Y = X2. Aleshores, Y és una variable aleatòria amb funció de distribució

 

Si y < 0, aleshores P(X2y) = 0, i per tant

 

Si y ≥ 0, aleshores

 

i per tant

 

Exemple 2Modifica

Suposem que   és una variable aleatòria amb funció de distribució

 

on   és un paràmetre fixat. Considerem la variable aleatòria   Aleshores,

 

La darrera expressió pot calcular-se en termes de la funció de distribució d'  i per tant

 

Vegeu tambéModifica

BibliografiaModifica

  • Probabilidad y Estadística. Morris H. DeGroot, publicado por Addison-Wesley Iberoamericana. (Segunda Edición)


  1. Bailo i Mompart, Carles. Matemàtiques II COU (en català). Barcelona: Teide, 1992, p. 345. ISBN 84-307-3296-9.