Llei dels grans nombres

En teoria de la probabilitat, la llei dels grans nombres és un teorema segons el qual quan el nombre d'observacions d'un fenomen aleatori és molt gran, la freqüència d'un esdeveniment associat amb aquest s'aproxima progressivament a un valor determinat. Aquest valor s'anomena probabilitat de l'esdeveniment.

Una il·lustració de la llei dels grans nombres, amb una sèrie concreta de llançaments d'un dau. A mesura que augmenta el nombre de llançaments, la mitjana dels valors de tots els resultats s'aproxima a 3,5. Mentre que sèries diferents de llançaments poden mostrar un esquema diferent quan encara s'han fet pocs llançaments (a l'esquerra), quan augmenta el nombre de llançaments (a la dreta) les sèries es comporten de manera similar.

Gràcies a aquesta llei podem, experimentalment:

  • Comprovar si són vàlides o no les probabilitats assignades a priori als esdeveniments dels instruments aleatoris suposadament regulars.
  • Obtenir de manera aproximada les probabilitats d'esdeveniments d'experiències aleatòries irregulars.

Aquesta llei és important perquè garanteix relacions estables entre les mitjanes de diversos esdeveniments aleatoris. Per exemple, mentre que un casino pot perdre diners en una simple tirada de la ruleta, els seus guanys tendiran a un percentatge predictible amb un nombre gran de tirades. Qualsevol sort del jugador serà, eventualment, superada pels paràmetres del joc. Cal recordar que la llei, però, tan sols s'aplica quan es considera un nombre elevat d'observacions, tal com el nom indica. El principi no es pot aplicar per un nombre petit d'observacions ni es pot esperar que una tongada d'un valor concret sigui immediatament "equilibrada" amb l'obtenció d'altres valors (consulteu la fal·làcia del jugador).

ExemplesModifica

Per exemple, una única tirada d'un dau equilibrat de sis cares té sis possibles resultats (1, 2, 3, 4, 5 o 6), tots amb la mateixa probabilitat. Per tant, el valor esperat de la mitjana de tirades és de:  

Segons la llei dels grans nombres, si es tiren un nombre elevat de daus de 6 cares, la mitjana dels seus valors serà pròxima a 3.5 i la seva precisió augmentarà amb la tirada de més daus.

D'aquesta llei, se'n pot deduir que la probabilitat empírica d'un succés o esdeveniment en una sèrie d'assajos de Bernoulli convergiran a la probabilitat teòrica. Per una variable aleatòria de Bernoulli, el valor esperat després d'un nombre d'assajos prou elevat coincideix amb la probabilitat teòrica de l'esdeveniment i la mitjana de les n variables (assumint que són aleatòries, independents i idènticament distribuïdes (i.i.d.)) és precisament la freqüència relativa.

Per exemple, la tirada d'una moneda equilibrada (on la probabilitat d'obtenir cada cara és igual), és un assaig de Bernoulli. Quan es tira per primer cop, la probabilitat de cara és 1/2. Per tant, segons la llei dels grans nombres, la proporció de cares en un nombre "gran" de tirades "hauria de ser" aproximadament 1/2. En concret, la proporció de cares després de n tirades convergirà de forma quasi segura cap a 1/2 a mesura que n s'apropa a infinit.

Malgrat que la proporció de cara (i creu) s'apropa a 1/2, a mesura que creix el nombre de tirades, pràcticament segur que la diferència absoluta entre el nombre de cares i creus també creixerà. D'altra banda, també pràcticament segur que la ràtio de la diferència absoluta respecte al nombre de tirades s'aproximarà a zero. De forma intuïtiva, la diferència absoluta esperada creix, però a un ritme menor que el nombre de tirades.

HistòriaModifica

El matemàtic italià Gerolamo Cardano (1501–1576) va constatar, sense demostrar, que la precisió de les mesures estadístiques empíriques tendien a millorar amb el nombre d'assajos[1] i es va formalitzar com a llei dels grans nombres. Una forma especial d'aquesta llei, per les variables aleatòries binàries, va ser demostrar primerament per Jacob Bernoulli.[2] Li va costar més de vint anys desenvolupar una prova matemàtica suficientment rigorosa, que va ser publicada en la seva obra Ars Conjectandi (L'art de la conjectura) el 1713. El va anomenar el seu "Teorema daurat", però va ser conegut generalment amb el nom del "Teorema de Bernoulli", que no s'ha de confondre amb el Principi de Bernoulli, referit al seu cosí Daniel Bernoulli. El 1837, S.D. Poisson el va desenvolupar més sota el nom "la loi des grands nombres" ("La llei dels grans nombres").[3][4] D'aleshores ençà, es coneix pels dos noms, tot i que la "Llei dels grans nombres" és més freqüent.

Després que Benroulli i Poisson publiquessin els seus esforços, altres matemàtics van contribuir a refinar la llei, com Chebyshev,[5] Markov, Borel, Cantelli i Kolmogorov i Khinchin. Markov va demostrar que la llei es podia aplicar a variables aleatòries que no tinguessin una variància finita sota alguna altra hipòtesi més feble, i Khinchin va provar, el 1929, que si la sèrie consistia en variables aleatòries independents i idènticament distribuïdes, era suficient que el valor esperat existís per tal que la llei feble dels grans nombres fos veritat.[6] A conseqüència d'aquests nous estudis, van sorgir dues formes prominents de la Llei dels grans nombres. Una anomenada la llei "feble" i l'altra la llei "forta", en referència a dues formes diferents de la convergència de la mitjana cumulativa de mostres cap al valor infinit. Tal com s'explica més endavant, la forma forta implica la feble.[7]

FormesModifica

Existeixen dues versions diferents de la llei dels grans nombres: la llei forta dels grans nombres i la llei feble dels grans nombres. Per una seqüència infinita de variables aleatòries Lebesgue integrables X1, X2... amb valor esperat E(X1) = E(X2) = ...= µ, ambdues versions de la llei afirmen que, amb certesa virtual, la mitjana mostral, definida com a

 

convergeix al valor esperat

 

 

 

 

 

(llei 1)

La integrabilitat de Lebesgue per Xj significa que el valor esperat E(Xj) existeix seguint la Integral de Lebesgue i és finit. No implica que la mesura de probabilitat associada sigui contínua absolutament respecte a la mesura de Lebesgue.

La hipòtesi de variància finita Var(X1) = Var(X2) = ... = σ2 < ∞ no és necessària. Una variància gran o infinita farà que la convergència sigui més lenta, però la llei dels grans nombres es manté de tota manera. Aquesta hipòtesi, però, sovint s'usa per a fer la demostració més fàcil i més curta.

La independència mútua de les variables aleatòries pot ser substituïda per la independència parella en ambdues versions de la llei.[8]

La diferència entre la versió de la llei feble i la forta rau en la manera en què la convergència és definida.

Vegeu tambéModifica

NotesModifica

  1. Mlodinow, L. The Drunkard's Walk. New York: Random House, 2008. p. 50.
  2. Jakob Bernoulli, Ars Conjectandi: Usum & Applicationem Praecedentis Doctrinae in Civilibus, Moralibus & Oeconomicis, 1713, Chapter 4, (Translated into English by Oscar Sheynin)
  3. Poisson names the "law of large numbers" (la loi des grands nombres) in: S.D. Poisson, Probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile, précédées des règles générales du calcul des probabilitiés (Paris, France: Bachelier, 1837), p. 7. He attempts a two-part proof of the law on pp. 139–143 and pp. 277 ff.
  4. Hacking, Ian. (1983) "19th-century Cracks in the Concept of Determinism", Journal of the History of Ideas, 44 (3), 455-475 Plantilla:Jstor
  5. Tchebichef, P. «Démonstration élémentaire d'une proposition générale de la théorie des probabilités». Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1846, 33, 1846, pàg. 259–267. DOI: 10.1515/crll.1846.33.259.
  6. «Law of large numbers».
  7. Seneta, 2013.
  8. Etemadi, N.Z. «An elementary proof of the strong law of large numbers». Wahrscheinlichkeitstheorie Verw Gebiete, 55, 1, 1981, pàg. 119–122. DOI: 10.1007/BF01013465.

ReferènciesModifica

  • Grimmett, G. R.; Stirzaker, D. R. Probability and Random Processes, 2nd Edition. Clarendon Press, Oxford, 1992. ISBN 0-19-853665-8. 
  • Richard Durrett. Probability: Theory and Examples, 2nd Edition. Duxbury Press, 1995. 
  • Martin Jacobsen. Videregående Sandsynlighedsregning (Advanced Probability Theory) 3rd Edition. HCØ-tryk, Copenhagen, 1992. ISBN 87-91180-71-6. 
  • Loève, Michel. Probability theory 1. 4th. Springer Verlag, 1977. 
  • Newey, Whitney K.; McFadden, Daniel. Large sample estimation and hypothesis testing. Elsevier Science, 1994, p. 2111–2245. 
  • Ross, Sheldon. A first course in probability. 8th. Prentice Hall press, 2009. ISBN 978-0-13-603313-4. 
  • Sen, P. K; Singer, J. M.. Large sample methods in statistics. Chapman & Hall, Inc, 1993. 
  • Seneta, Eugene «A Tricentenary history of the Law of Large Numbers». Bernoulli, 19, 4, 2013, p. 1088–1121. DOI: 10.3150/12-BEJSP12.

Enllaços externsModifica