Distribució normal esbiaixada

En teoria i estadística de probabilitats, la distribució normal esbiaixada és una distribució de probabilitat contínua que generalitza la distribució normal per permetre una asimetria diferent de zero.

Distribució normal esbiaixada

Funció de densitat de probabilitat
Funció de distribució de probabilitat
Tipus	distribució univariant i distribució de probabilitat contínua
Paràmetres	$\xi \,$ lloc (real) $\omega \,$ scale (positive, real) $\alpha \,$ forma (real)
Suport	$x\in (-\infty ;+\infty )\!$
FD	$\Phi \left({\frac {x-\xi }{\omega }}\right)-2T\left({\frac {x-\xi }{\omega }},\alpha \right)$ $T(h,a)$ is Owen's T function
Moda	$\xi +\omega m_{o}(\alpha )$
Variància	$\omega ^{2}\left(1-{\frac {2\delta ^{2}}{\pi }}\right)$
Curtosi	$2(\pi -3){\frac {\left(\delta {\sqrt {2/\pi }}\right)^{4}}{\left(1-2\delta ^{2}/\pi \right)^{2}}}$
FGM	$M_{X}\left(t\right)=2\exp \left(\xi t+{\frac {\omega ^{2}t^{2}}{2}}\right)\Phi \left(\omega \delta t\right)$

Definició

Deixar $\phi (x)$ denoteu la funció de densitat de probabilitat normal estàndard

$\phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}$

amb la funció de distribució acumulada donada per

$\Phi (x)=\int _{-\infty }^{x}\phi (t)\ dt={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\right]$

on "erf" és la funció d'error. A continuació, la funció de densitat de probabilitat (pdf) de la distribució asiàtica amb el paràmetre $\alpha$ està donat per

$f(x)=2\phi (x)\Phi (\alpha x).\,$

Aquesta distribució va ser introduïda per primera vegada per O'Hagan i Leonard (1976). Les formes alternatives a aquesta distribució, amb la corresponent funció quantil, han estat donades per Ashour i Abdel-Hamid i per Mudholkar i Hutson.

Un procés estocàstic que sustenta la distribució va ser descrit per Andel, Netuka i Zvara (1984). Tant la distribució com els fonaments del seu procés estocàstic eren conseqüències de l'argument de la simetria desenvolupat a Chan i Tong (1986), que s'aplica a casos multivariants més enllà de la normalitat, per exemple, la distribució t multivariada sesgada i altres. La distribució és un cas particular d'una classe general de distribucions amb funcions de densitat de probabilitat de la forma $f(x)=2\phi (x)\Phi (x)$ on $\phi (\cdot )$ és qualsevol PDF simètric sobre zero i $\Phi (\cdot )$ és qualsevol CDF el PDF del qual és simètric sobre zero.