Descomposició en fraccions parcials: diferència entre les revisions

on <math>Q'</math> és la derivada del polinomi <math>Q</math>.

 

 

* Si grau&nbsp;''P''&nbsp; <math> \ge </math> &nbsp;grau&nbsp;''Q'', llavors és necessari fer la [[polinomi#Divisibilitat|divisió euclidiana]] de ''P'' per ''Q'' (vegeu ''[[Divisió de polinomis]]''), la qual cosa dóna ''P''(''x'') = ''E''(''x'') ''Q''(''x'') + ''R''(''x'') amb grau&nbsp;''R''</sub>&nbsp;<&nbsp;''n''. Dividint per ''Q''(''x'') s'obté

 

:i llavors s'intenten buscar les fraccions parcials per la fracció residu (que, per definició, satisfà grau&nbsp;''R''</sub>&nbsp;<&nbsp;deg&nbsp;''Q'').

 

* Si ''Q''(''x'') conté factors que són irreductibles en el cos donat, llavors el numerador ''N''(''x'') de cada fracció parcial amb tal factor ''F''(''x'') al denominador s'ha de buscar com un polinomi amb grau&nbsp;''N''&nbsp;<&nbsp;grau&nbsp;''F'', i no pas com una constant. Per exemple, si es pren la següent descomposició sobre '''R''':

:: <math>\frac{x^2 + 1}{(x+2)(x-1)\color{Blue}(x^2+x+1)} = \frac{a}{x+2} + \frac{b}{x-1} + \frac{\color{OliveGreen}cx + d}{\color{Blue}x^2 + x + 1}.</math>

* Es suposa ''Q''(''x'') = (''x'' − ''α'')^''r''''S''(''x'') i ''S''(''α'')&nbsp;≠&nbsp;0. Llavors ''Q''(''x'') té un zero ''α'' de [[multiplicitat (matemàtiques)|multiplicitat]] ''r'', i en la descomposició en fraccions parcials, ''r'' fraccions parcials involucraran les potències de (''x'' − ''α''). Per exemple, si es pren 'S''(''x'') =&nbsp;1 s'obté la següent descomposició:

 

:: <math>\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{P(x)}{(x-\alpha)^r} = \frac{c_1}{x-\alpha} + \frac{c_2}{(x-\alpha)^2} + \cdots + \frac{c_r}{(x-\alpha)^r}.</math>

 

 

: <math>\frac{3x + 5}{(1-2x)^2} = \frac{A}{(1-2x)^2} + \frac{B}{(1-2x)}.</math>

 

 

 

 

: <math>\frac{3x + 5}{(1-2x)^2} = \frac{13/2}{(1-2x)^2} + \frac{-3/2}{(1-2x)}.</math>