En [[ matemàticamatemàtiques]], una ''' sèrie de Bell ''' és una [[sèrie de potències formal]] utilitzada per estudiar les propietats de funcions aritmètiques. Les sèries de Bell van ser introduïdes i desenvolupades per [[Eric Temple Bell]]. ▼{{2L|data=febrer de 2013}}
▲En [[matemàtica]], una ''' sèrie de Bell ''' és una [[sèrie de potències formal]] utilitzada per estudiar les propietats de funcions aritmètiques. Les sèries de Bell van ser introduïdes i desenvolupades per [[Eric Temple Bell]].
Donada una [[funció aritmètica]] <math> f </math> i un [[nombre primer]] <math> p </math>, es defineix la sèrie de potències formal <math> f_p (x) </math>, anomenada sèrie de Bell de <math> f </math> mòdul <math> p </math>, com a:
: <math> F_p (x) = \sum_{n = 0}^\infty f (p^n) x^n. </math>
Es pot demostrar que dues funcions multiplicatives són idèntiques si totes les seves sèries de Bell són iguals,: això de vegades es dius'anomena '' teorema d'unicitat ''. Donades les [[funció multiplicativa|funcions mutiplicativasmultiplicatives]] <math> f </math> i <math> g </math>, s'haes deté que <math> f = g </math> [[si i només si]]:
: <math> F_p (x) = g_p (x) </math> per a tots els cosins <math> p </math>. ▼
▲: <math> F_p (x) = g_p (x) </math> per a tots els cosinsnombres primers <math> p </math>.
Dues sèries poden ser multiplicades (de vegades anomenat com '' teorema de multiplicació ''): Per a dos [[funció aritmètica|funcions aritmètiques]] qualssevol <math> f </math> i <math> g </math>, sigui <math> h = f * g </math> seu [[convolució de Dirichlet]]. Llavors, per a cada primer <math> p </math>, s'ha de: ▼
▲Dues sèries poden ser multiplicades (de vegades anomenat com '' teorema de multiplicació ''): Perper a dos [[funció aritmètica|funcions aritmètiques]] qualssevol <math> f </math> i <math> g </math>, sigui <math> h = f * g </math> seula seva [[convolució de Dirichlet]]. Llavors, per a cada nombre primer <math> p </math>, s'haes deté que:
: <math> H_p (x) = f_p (x) g_p (x). \, </math> ▼
▲: <math> H_p (x) = f_p (x) g_p (x). \, </math>
Més concretament, vol converteix en trivial el trobar la sèrie de Bell d'una [[convolució de Dirichlet|inversa de Dirichlet]]. ▼
▲Més concretament, volaixò converteix en trivial el fet de trobar la sèrie de Bell d'una [[convolució de Dirichlet|inversa de Dirichlet]].
Si <math> f </math> és [[funció completament multiplicadora|completament multiplicativa]], llavors: ▼: <math> F_p (x) = \frac{1}{1-f (p) x}. </math> ▼
▲Si <math> f </math> és [[funció completament multiplicadora|completament multiplicativa]], llavors:
▲: <math> F_p (x) = \frac{1}{1-f (p) x}. </math>
A continuació es mostren les sèries de Bell de funcions aritmètiques molt conegudes.
* La [[funció de Moebius]] <math> \mu </math> té <math> \mu_p (x) = 1-x. </math>
* La [[Funciófunció φ d'Euler]] <math> \varphi </math> té <math> \varphi_p (x) = \frac{1-x}{1-px}. </math>
* La identitat multiplicadora de la [[convolució de Dirichlet]] <math>\delta \,</math> tiene <math>\delta_p(x)=1. \,</math>
* La [[funció de Liouville]] <math> \lambda </math> té <math> \lambda_p (x) = \frac{1}{1+x}. </math>
* La funció potència Id <sub> k </sub> té <math> (\textrm{Id}_k) _p (x) = \frac{1}{1-p^kx}. </math> Aquí, Id <sub> k </sub> és la funció completament multiplicativa <math> \operatorname{Id}_k (n) = n^k </math>.
* La [[funció divisor]] <math> \sigma_k </math> té <math> (\sigma_k) _p (x) = \frac{1}{1 - (1+p^k) x+p^kx^2}. </math>
== ReferènciesBibliografia ==
* {{Obracite citadabook
|Last last= Apostol
|First first= Tom M.
|Author author-link = Tom M. Apostol
|Title title= Introduction to analytic number theory
|Publisher publisher= [[Springer-Verlag]]
|Location location= New York-Heidelberg
|Sèries series= Undergraduate Texts in Mathematics
|Isbn isbn= 978-0-387-90163-3
|Id id={{MathSciNet | id = 0434929}}
|Year year= 1976}}
| language=anglès
<references/>
}}
{{ORDENA:Serie De Bell}} <!--ORDENA generat per bot-->
[[Categoria: Funcions]]
[[Categoria: Sèries]]
| 