Revisió del 00:46, 4 març 2014 modifica Ssola (discussió \| contribucions) Autopatrullats, Reversors 26.657 edits →‎Introducció ← Edició anterior		Revisió del 00:57, 4 març 2014 modifica desfés Ssola (discussió \| contribucions) Autopatrullats, Reversors 26.657 edits →‎Equació d'ona escalar en un espai d'una sola dimensió Edició següent →
Línia 36: === Obtenció de l'equació d'ona === ==== De la llei de Hooke ==== L'equació d'ona en el cas d'una sola dimensió pot ser obtinguda de la [[Llei de Hooke]] de la següent manera: imagina una sèrie de petits pesos de massa '' m '', interconnectats per ressorts sense massa de longitud '' h ''. Els ressorts tenen una [[rigidesa]] de '' k '': : [[Fitxer:Array of masses.svg\|Sèrie de petits pesos]] Aquí '' u (x) '' mesura de la distància en equilibri de la massa situada a '' x ''. Les forces exercides sobre la massa <math> \scriptstyle m </math> en el lloc <math> \scriptstyle x+h </math> són: : <math> F_{\mathit{Newton}}= m \cdot a (t) = m \cdot{{\partial^2 \over \partial t^2}ou (x+h, t)}</math > : <math> F_ \mathit{Hooke}= F_{x+2 h}+F_x = k \left [{u (x+2 h, t) - u (x+h, t)}\right]+k [o u(x, t) - u (x+h, t)] </math> L'equació de moviment per al pes en el lloc '' x+h '', s'obté en equiparar aquestes dues forces: : <math> M{\partial^2u (x+h, t) \over \partial t^2}= k [u (x+~~2 h~~2h, t) -u u(x+h, t) -o u(x+h, t) +u u(x, t)] </math> on la dependència amb el temps de '' ~~o ''~~ u('' x )'') es fa explícita. Si la sèrie de pesos consisteix en '' N '' pesos espaiats uniformement al llarg de '' L '' = '' N '' '' h '' de la massa total '' M '' = '' N '' '' m '', i la [[rigidesa]] total de la sèrie '' K '' = '' k ''/'' N '' podem escriure l'equació anterior com: Línia 63: Començant amb l'[[equació de transport escalar genèrica]] sense difusió, : <math> \frac{\partial \phi}{\partial t}+\frac{\partial (ou \phi)}{\partial x}= s_ \phi </math>, Derivem respecte a <math> t </math> per aconseguir : <math> \frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2}+\frac{\partial^2 (ou \phi)}{\partial x \partial t}= \frac{\partial s_ \phi}{\partial t}</math>. Assumint que <math> s_ \phi </math> i <math> o u</math> són constants, podem escriure : <math> \frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2}+ou \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial \phi}{\partial t}= 0 </math>. Substituint la derivada respecte del temps de <math> \phi </math> obtenim : <math> \frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2}+ou \frac{\partial}{\partial x} \left [s_ \phi-\frac{\partial (ou \phi )}{\partial x}\right] = 0 </math>, el que dóna com a resultat l'equació d'ona, Línia 81: : <math> \frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2}-u^2 \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}= 0 </math>, on <math> o u</math> és la velocitat de propagació de l'escalar <math> \phi </math> el qual, en general, està en funció del temps i de la posició. === Solució del problema de valor inicial === Línia 87: La solució general de l'equació d'ona escalar unidimensional : <math>{\partial^2 ou \over \partial t^2}= c^2{\partial^2 ou \over \partial x^2}</math> Va ser obtinguda per [[Jean le Rond d'Alembert\|d'Alembert]]. L'equació d'ona pot ser escrita d'una manera ~~factoritzades~~factoritzada: : <math> \left [\frac{\part}{\part t}- c \frac{\part}{\part x}\right] \left [\frac{\part}{\part t}+c \frac{\part}{\part x}\right] u = 0. \, </math> Per tant, si '' F '' i '' G '' són funcions arbitràries, qualsevol suma de la forma : <math> U u(x, t) = F (x-ct)+G (x+ct) \, </math> satisfarà l'equació d'ona. Els dos termes són ones viatgeres: qualsevol punt de la forma d'ona donada per un argument específic ja sigui '' F '' o '' G '' es mourà amb velocitat '' c '' ja sigui cap al front o cap enrere: cap al front per '' F '' i cap enrere per '' G '', aquestes funcions poden ser determinades per satisfer condicions inicials arbitràries: : <math> O u(x, 0) = f (x) \, </math> : <math> ~~U_t~~u_t (x, 0) = g (x) \, </math> El resultat és la [[Fórmula de d'Alembert]]: : <math> U u(x, t) = \frac{f (x-ct)+f (x+ct)}{2}+\frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}g (s) ds </math> En el sentit clàssic, si <math> \scriptstyle f (x) \in C^k </math> i <math> \scriptstyle g (x) \in C^{k-1}</math> llavors <math > \scriptstyle u (t, x) \in C^k </math>. No obstant això, les formes d'ona '' F '' i '' G '' també poden ser generalitzades, com ara la funció delta. En aquest cas, la solució pot ser interpretada com un impuls que viatja cap a la dreta o cap a l'esquerra.

Equació d'ona: diferència entre les revisions