Equipotència: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m Corregit: es -> és una |
m Correcció tipogràfica: espais sobrants |
||
Línia 10:
* És [[relació binària#Reflexivitat|reflexiva]]: per a tot conjunt ''E'', ''E'' ≈ ''E'' (existeix almenys una bijecció de ''E'' vers ''E'' : l'[[funció identitat|aplicació idèntica]] de ''E'')
* És [[relació binària#Simetria|simètrica]]: essent dos conjunts ''E'' i ''F'', si ''E'' ≈ ''F'', aleshores ''F'' ≈ ''E'' (per hipotèsi, hi ha almenys una bijecció <math>f : E \to F</math>
* És [[relació binària#Transitivitat|transitiva]] : essent tres conjunts ''E'', ''F'' i ''G'', si ''E'' ≈ ''F'' i ''F'' ≈ ''G'', aleshores ''E'' ≈ ''G'' (per hipotèsi, hi ha almenys una bijecció <math>f : E \to F</math> i una bijecció <math>g : F \to G</math>
Açò prova que dins tot conjunt <math>\mathcal{E}</math> de conjunts, la [[relació binària]] d'equipotència és una [[relació d'equivalència]], i que el [[relació d'equivalència#Conjunt quocient|conjunt quocient]] <math>\mathcal{E} / \approx\quad</math> pot ésser identificat al conjunt dels cardinals dels elements de <math>\mathcal{E}</math>. <br />Per exemple, si <math>\mathcal{E} = \mathcal{P}(\Omega)</math> és el [[conjunt de les parts]] d'un conjunt <math>\Omega</math>, l'equipotència és una [[relació d'equivalència]] dins <math>\mathcal{E}</math>.
Línia 28:
* El conjunt <math>\mathbb{N}</math> dels [[nombre natural|enters naturals]] i el conjunt dels enters naturals parells, notat ací <math>\mathcal{P}</math>, són equipotents: l'aplicació <math>\mathbb{N} \to \mathcal{P},\, n \mapsto 2\, n</math> és bijectiva. De fet els conjunts que són equipotents amb ℕ es diu que són [[conjunt numerable|numerables]].
* Cas dels intervals del conjunt <math>\mathbb{R}</math> dels [[nombre real|nombres reals]]
** Sien dos reals <math>a</math>, <math>b</math> tals que <math>a < b</math>, i els intervals <br /> <math>[a,\, b] = \{x \in \mathbb{R} \mid a \leq x \leq b\}</math>
*** Els intervals <math>[a,\, b] </math> i <math>[0,\, 1]</math> són equipotents: l'aplicació <math>[a,\, b] \to [0,\, 1],\, x \mapsto \frac{x - a}{b - a}</math> és bijectiva.
*** Anàlogament, els intervals <math>\,]a,\, b[\, </math> i <math>\,]0,\, 1[\,</math> són equipotents.
| |||