Teoria de conjunts: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m Correcció tipogràfica: espai sobrant |
m Correcció tipogràfica: espais sobrants |
||
Línia 160:
Per exemple, els elements del conjunt ''A'' = {1, 2, 3} es poden relacionar o fer correspondre mitjançant una correspondència ''f'' amb els elements del conjunt ''B'' = {''x'', ''y'', ''z''} de manera que a tot element de ''A'' li corresponga un, cap o diversos elements de ''B''. Això també es pot expressar així:
* ''f''(1) = {''x'', ''z''}, ''f''(2) = Ø
També es pot dir que ''f'' = {(1, ''x''), (1, ''z''), (3, ''z'')}.
Línia 169:
== El problema de l'axioma d'elecció ==
L'[[axioma d'elecció]] va apareixer explícitament en una publicació d'[[Ernst Zermelo]] de 1904, és a dir abans de l'aparició de la seva axiomatització de la teoria dels conjunts. L'axioma d'elecció és en efecte d'una naturalesa diferent dels altres axiomes de la teories dels conjunts enunciats ulteriorment, i que resulten per a la majoria d'una anàlisi detallada de l'[[esquema d'axiomes d'especificació]]. En efecte l'axioma d'elecció no dóna cap definició explícita del conjunt construït (conjunt de eleccio o funció d'elecció segons les versions). D'altra banda, al seu article de 1904, Zermelo demostra amb l'axioma d'elecció el seu famós teorema que enuncia que tot conjunt pot ser ben ordenat, proposició que no té res d'intuïtivament evident. L'axioma d'elecció va ser utilitzat tàcitament almenys per [[Georg Cantor]], però la publicació de Zermelo posa en marxa debats apassionats amb els matemàtics de l'época.<ref>On trouve dans les ''leçons sur la théorie des fonctions'' d'[[Emile Borel]] Gauthiers-Villars 4ème édition 1950, un échange de lettres à ce sujet entre [[René Baire]], [[Jacques Hadamard]], [[Henri Lebesgue]] et Borel lui-même
L'axioma d'elecció està d'altra banda molt vinculat a l'infinit matemàtic, en efecte l'axioma d'elecció és ''intuïtivament'' verdader per a un nombre finit de eleccions, i d'altra banda demostrable, en aquest cas, a partir dels altres axiomes de la teoria dels conjunts. Ara bé al voltant de 1904 de ple en la controvèrsia posada en marxa pel descobriment de les paradoxes.<ref>le [[paradoxe de Russell]] et d'autres, est paru dans les ''principles of mathematics'' du dit [[Bertrand Russell|Russell]] en 1903, le [[paradoxe de Richard]] est publié en 1905 ...</ref> Llavors diverses concepcions de l'infinit matemàtic s'enfronten. Això arribarà fins i tot a qüestionar radicalment els fonaments de les matemàtiques per part de [[Luitzen Egbertus Jan Brouwer]], fundador de l'[[intuïcionisme]], que descarta el [[principi del terç exclòs]], que se situa força més amunt de l'axioma d'elecció. Tanmateix en aquell temps, certs matemàtics que no van tan lluny i accepten certes formes de raonament no constructiu, desconfien de l'axioma d'elecció. [[Emile Borel]] escriu en 1950:<ref>Préface de la 4ème édition des ''leçons sur la théorie des fonctions''</ref> És ja un resultat important obtingut pels adversaris de l'axioma de Zermelo que tots els que admeten aquest axioma prenen la cura, quan obtenen un teorema nou, d'especificar si la demostració d'aquest teorema exigeix o no la utilització de l'axioma de Zermelo. Aquest axioma ha creat així una branca separada de les matemàtiques; la importància i l'interès d'aquesta branca decidiran de la seva sort. En tot cas Es pot dir que avui, vist justament la seva utilització en branques importants de les matemàtiques, l'axioma d'elecció és àmpliament acceptat.
Línia 175:
Això encara més des que se sap a partir dels treballs de Gödel<ref name="constructibles">[[Kurt Gödel]]. ''The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum Hypothesis with the Axioms of Set Theory'', Princeton University Press.ISBN 0-691-07927-7.</ref> que admetre l'axioma d'elecció ja no és «arriscat», en el sentit que demostra que si la teoria ZFC fos incoherent la teoria ZF ho també seria (veure la secció sobre els resultats d'independència en teoria dels conjunts).
D'altra banda s'han identificat restriccions de l'axioma d'elecció, com l'axioma d'elecció enumerable (que permet per exemple demostrar que una reunió numerable de conjunts numerables és numerable), ell mateix és conseqüència de l'axioma d'elecció depenent (qui permet per exemple demostrar l'existència d'una successió infinita decreixent per a una [[relació ben fonamentada|relació no ben fonamentada]]). Així [[Robert M. Solovay|Robert Solovay]] va publicar el 1970 la coherència de la teoria ZF + l'axioma d'elecció depenent + tot subconjunt dels reals és [[mesura de Lebesgue|Lebesgue-mesurable]], teoria que contradiu l'axioma d'elecció en tota la seva generalitat, relativament a la la teoria ZF + existeix un cardinal inaccessible (un reforç de la teoria ZF que permet demostrar la coherència de ZF).<ref>Robert M. Solovay ''A model of set theory in which every set of reals is Lebesgue mesurable'', Annals of Math. 92, 1970, pp 1-56.</ref> Tanmateix, l'axioma d'elecció enumerable és insuficient en geometria algebraica, ja que el tractament dels cossos algebraicament tancats requereix el [[lema de Zorn]] que és equivalent a l'axioma d'elecció
Un dels millors exemples de les rareses a que condueix l'axioma d'elecció és certament la [[paradoxa de Banach-Tarski]], publicada en 1924<ref>[[Stefan Banach]] and [[Alfred Tarski]], [http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm6/fm6127.pdf ''Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes''], [[Fundamenta Mathematicae]], '''6''', (1924), 244–277. [http://www.emis.de/cgi-bin/JFM-item?50.0370.02 Review at JFM]</ref> que, fent servir l'axioma d'elecció, afirma que es pot tallar una esfera en un nombre finit de trossos, desplaçar-los per una successió de moviment rígids ([[translació (geometria)|translació]] i [[rotació]]), tot permetent a certes peces travessar-ne d'altres i reunir-los altre cop formant dues còpies de l'esfera original. Això sembla contradir la intuïció física que es té de la noció de volum, però la paradoxa de Banach-Tarski fa intervenir parts no mesurables.
| |||