Subespai vectorial: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m Corregit: per tan estable per addició ja > per tant estable per addició, ja |
m Correcció tipogràfica: espais sobrants |
||
Línia 2:
* La suma vectorial de dos vectors de ''F'' pertany a ''F'';
* La multiplicació d'un vector de ''F'' per un escalar pertany a ''F''
Aquestes condicions imposen que el [[vector nul]] pertanyi a ''F''
== Definició equivalent ==
Línia 22:
En Altres Paraules ''F'' és un subespai vectorial de ''E'' si i només si no és buit i és estable per [[combinació lineal]].
'''Nota''': en tot espai vectorial ''E'' no reduït a <math>\ \{0\}</math>, hi ha almenys dos subespais vectorials. Són <math>\ \{0\}</math> i ''E'' mateix: se'n diu els dos ''subespais vectorials trivials''
'''Observació 1''': un subespai vectorial ''F'' de ''E'' conté necessàriament el vector nul <math>\ 0_E</math> de ''E'' (en efecte, com que ''F'' és no buit, existeix almenys un element <math>\ u_0</math> de ''F''; llavors, per a tot <math>\ \lambda</math> en <math>\ \mathbb{K}</math>, <math>\lambda u_0</math> pertany a ''F''; la tria <math>\ \lambda = 0</math> dóna <math>0_E = 0 \cdot u_0 \in F</math>).
Línia 41:
== Unió de subespais vectorials ==
En el cas general, l'estructura de subespai vectorial no és estable per la unió. Existeix dues proposicions que tracten aquest cas.
* ''E'' és aquí de dimensió finita, i el seu cos associat és de cardinal infinit. Si <math>(F_i)</math> és una família finita de subespais vectorials de ''E'' tots diferents de ''E'', llavors la unió de la família <math> (F_i)</math> és diferent de ''E''
* Si <math> (F_i)</math> és una família de subespais vectorials de ''E'' tal que la unió de dos elements d'aquesta família sempre estigui inclosa en un tercer element de la família, llavors la unió de la família <math> (F_i)</math> és un subespai vectorial de ''E''.
Línia 60:
=== Definició ===
Siguin <math> F_1\quad </math> i <math> F_2\quad</math> dos subespais vectorials de ''E''
:<math> F_1 + F_2 = \left\{x \in E / \exists x_1 \in F_1, \exists x_2 \in F_2, x = x_1 + x_2\right\} </math>.
Línia 92:
=== Definició ===
Sigui ''A'' una part '''qualsevol''' de ''E''
* Si ''A'' és no buit, es defineix el subconjunt següent de ''E'':
Línia 105:
Sigui ''A'' una part de ''E'' .<br />
* El conjunt <math>\mbox{Vect}(A) </math> és un subespai vectorial de ''E'', i conté ''A''
* Si ''F'' és un subespai vectorial de ''E'' que conté ''A'', llavors <math>\mbox{Vect}(A) \subset F</math>.
: És per això que es diu que <math>\mbox{Vect}(A) </math> és '''el subespai vectorial més petit ''' de ''E'' que contenint ''A''
: Se'l anomena '''subespai vectorial''' de ''E'' '''engendrat per''' ''A''
* El subespai vectorial engendrat per ''A'' és la intersecció de tots els subespais vectorials de ''E'' que contenen ''A''
'''Nota''': es considera l'aplicació <math>\varphi: \mathcal{P}(E) \to \mathcal{P}(E), A \mapsto \mbox{Vect}(A)</math>, on <math> \mathcal{P}(E) </math> designa el conjunt de les parts de ''E''
Es designa per ''A'' i ''B'' dues parts qualssevol de ''E''. Resulta de la propietat precedent que:
Línia 126:
=== Propietat 2===
Siguin ''A'' i ''B'' dues parts de ''E''
*<math> \mbox{Vect}(A) + \mbox{Vect}(B) = \mbox{Vect}(A \cup B) </math>
Línia 133:
Sigui '''K''' un [[cos finit]] de cardinal ''q'', i sigui ''E'' un '''K'''-espai vectorial de dimensió finita ''n'' sobre ''K''. Llavors el conjunt ''E'' és finit de cardinal ''q'' <sup>''n'' </sup>. Posseeix un nombre finit de subespais vectorials. El nombre de subespais de dimensió ''k'' val
:<math>\frac{(q^n-1)(q^{n}-q)\dots (q^{n}-q^{k-1})}{(q^k-1)(q^{k}-q)\dots (q^k-q^{k-1})}</math>.
Aquesta quantitat és el quocient del nombre de famílies lliures a ''k'' elements de ''E'' pel nombre de les bases en un '''K'''-espai vectorial de dimensió ''k''
{{caixa desplegable|títol=Demostració|contingut=
| |||