Integral de moviment: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m Corregit: concepte de ''' integral primera > concepte d{{'}}'''integral primera |
m Correcció tipogràfica: espais sobrants |
||
Línia 37:
=== Problema de Kepler ===
{{AP|Problema dels dos cossos}}
En el problema de dos cossos soemtidos al seu mútua atracció gravitatòria, conegut com a problema de Kepler o problema dels dos cossos, hi ha diverses quantitats conservades independents del temps, l'[[energia mecànica|energia]] <math> E_m \; </math >, les tres components del [[moment angular]] <math> \mathbf{L}</math> i les tres components del [[vector de Runge-Lenz]] <math> \mathbf{A}</math> (i combinacions d'aquestes constants entre si). Però, pot provar-se que no hi ha més de 5 integrals del moviment que no depenguin explícitament del temps i que siguin funcionalment independents, de fet hi ha les següents relacions entre les set quantitats conservades esmentades:
{{Equació|
<math> \mathbf{L}\cdot \mathbf{A}= L_xA_x+L_yA_y+L_zA_z, \qquad
Línia 54:
\frac{\part H}{\part p}\dot{p}+\frac{\part H}{\part q}\dot{q}=
- \frac{\part H}{\part p}\frac{\part H}{\part q}+\frac{\part H}{\part q}\frac{\part H}{\part p}= 0 </math>||left}}
És a dir, el valor de la hamiltoniana al llarg de les trajectòries roman constant, de fet, aquest valor és igual a l'energia '' I '' que és constant per a aquest sistema. Suposant que el hamiltonià té la forma típica, les equacions de moviment poden ser integrades mitjançant una quadratura:
{{Equació|<math> E = \frac{1}{2}m \dot{q}^2+U (q) \Rightarrow \qquad
t = \sqrt{\frac{m}{2}}\int_{q_0}^{q (t)}\frac{dq}{\sqrt{EU (q)}}+C_1 </math>||left}}
| |||