Equació: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m Corregit: com al de les funcions continues definides > com el de les funcions contínues definides |
m LanguageTool: correccions ortogràfiques i gramaticals |
||
Línia 1:
{{Vegeu3|les equacions matemàtiques en la seva generalitat|una introducció al concepte i mètodes de resolució|Equació (àlgebra elemental)}}
[[Fitxer:First Equation Ever.png|220px|thumb|[[Robert Recorde]] és un precursor de l'escriptura d'una equació. Va inventar l'ús del signe = per designar una igualtat.<ref>Aquesta equació prové del llibre de [[Robert Recorde|R. Recorde]] ''The Whetstone of Witte'' publicat el 1557.
[[Fitxer:Lorentz.PNG|thumbnail|220px|Un [[sistema dinàmic]] correspon a un tipus particular d'equació, les solucions de la qual són funcions. El comportament límit és de vegades complex. En certs casos, es caracteritza per una curiosa figura geomètrica, anomenada [[atractor estrany]].]]
En [[matemàtiques]] una '''equació''' és una igualtat que conté una o diverses [[variable (matemàtiques)|variables]]. Resoldre l'equació consisteix a determinar els valors que pot prendre la variable (o les variables) per tal de fer verdadera la igualtat. La variable també s'anomena desconeguda o ''incògnita'' i els valors per als quals la igualtat es verifica [[solució|solucions]]. A diferència d'una [[Igualtat matemàtica#Identitats|identitat]], una equació és una igualtat que no és necessàriament verdadera per a tots els valors possibles de la variable.<ref>{{ref-web|url=http://www.universalis.fr/encyclopedie/NT01240/EQUATION_mathematique.htm|títol=Mathématique - Équations |autor=Gilles Lachaud |editor=Encyclopaedia Universalis |consulta =12 de febrer de 2009 }}</ref><ref group="Nota">Una altra font proposa una definició amb el mateix esperit: «A statement of equality between two expressions. Equations are of two types,'' '''identities''' ''and'' '''conditional equations''' ''(or usually simply "equations")''». (en anglès)</ref><ref>Glenn James i Robert C. James (editors). «Equació», a ''Mathematics dictionary'', Van Nostrand, 1968,
L'[[àlgebra]] estudia sobretot dues famílies d'equacions: les [[Equació polinòmica|equacions polinòmiques]] i les [[Equació lineal|equacions lineals]]. Les equacions polinòmiques són de la forma ''P''(''X'') = 0, on ''P'' és un [[polinomi]]. Els mètodes de transformacions i de canvi de variable permeten resoldre les més simples. Les equacions lineals són de la forma ''a''(''x'') + ''b'' = 0, on ''a'' és una [[aplicació lineal]] i ''b'' un [[vector (matemàtiques)|vector]]. Per resoldre-les es fan servir tècniques [[Algorisme|algorísmiques]] o [[geometria|geomètriques]], sorgides de l'[[àlgebra lineal]] o de l'[[anàlisi matemàtica]]. Si es modifica el [[Domini (matemàtiques)|conjunt en
La [[geometria]] fa servir les equacions per caracteritzar les [[figura geomètrica|figures]]. En relació als casos anteriors, l'objectiu és diferent; l'equació es fa servir per posar en evidència propietats geomètriques. En aquest context hi ha dues grans famílies d'equacions: les [[equació cartesiana|cartesianes]] i les [[equació paramètrica|paramètriques]].
Línia 23:
En l'exemple, la formulació en forma d'equació, és a dir la igualtat ''(1)'', és equivalent a la pregunta plantejada. Respondre-la significa determinar l'únic valor que ha de prendre la [[incògnita]] ''x'' perquè la igualtat que defineix l'equació sigui verdadera. El maneig de la incògnita permet resoldre algunes equacions, com la que es presenta aquí. Aquesta visió és font d'una altra manera de definir una equació. Per a l'<nowiki />''Enciclopèdia Soviètica de Matemàtiques'', una equació és la traducció, sota una forma analítica, d'un problema.<ref>«equació» en ''Encyclopaedia of mathematics - An updated and annotated translation of the Soviet Mathematical Encyclopaedia'' (Michel Hazewinkel, éd.), Reidel, 1988, vol. 3, pàg. 399. {{ISBN|1556080107}} {{mida|1=[http://eom.springer.de/E/e035920.htm Llegir-lo online]}}. L'article, no signat, diu «estar basat en l'article del mateix nom de la Gran Enciclopèdia Soviètica.»(en anglès)</ref><ref> Es troba també una definició o la idea de problema a resoldre hi és subjacent a l'''[http://fr.encarta.msn.com/encyclopedia_761565434/%C3%A9quations.html Encyclopédie Encarta]'', també sense signar: «Igualtat entre dues expressions matemàtiques de la qual es busca si es verifica per a cert(s) valor(s) de la variable anomenada desconeguda.»</ref> L'equació ''f''(''x'') = ''g''(''x'') correspon a la pregunta: per a quin valor de ''x'', l'equació es transforma en igualtat? Aquesta definició descriu bé les primeres equacions estudiades, que són de vegades la formulació matemàtica d'una pregunta de la vida corrent.
Aquesta definició fundada en una pregunta no és la més general: en [[geometria]], l'equació de la [[circumferència]] no fa referència a una pregunta.<ref>
=== Paràmetre ===
Línia 49:
Les qüestions que sorgeixen en l'estudi d'una equació depenen de la seva naturalesa. En la imatge de l'equació precedent, algunes es defineixen amb l'ajuda d'una funció ''f'' : '''R''' → '''R''', és a dir del conjunt dels nombres reals en ell mateix. L'equació s'escriu ''f''(''x'') = 0. De vegades es comença l'estudi per establir l'existència o no de solució a l'equació. El nombre de solucions ve donat per l'estudi de la funció ''f'', aquest cas s'estudia en el paràgraf sobre els [[#zeros d'una funció|zeros d'una funció]].
De vegades, és més simple començar per estudiar les propietats de la o de les eventuals solucions, sense preocupar-se per la seva existència. És el cas del [[isoperímetre|problema isoperimétric]] del triangle. El problema consisteix
<center><math>S(T) = m\;</math></center>
Des de l'antiguitat, els matemàtics saben que l'única resposta possible és el [[triangle equilàter]].<ref>Aquest resultat s'atribueix a [[Zenodor]] al [[segle II ac]]: P. Nahin ''When Least Is Best: How Mathematicians Discovered Many Clever Ways to Make Things as Small (or as Large) as Possible'' Princeton University Press p 47 (2007) {{ISBN|0691130523}}</ref> En canvi, establir l'existència d'una solució és un problema més tècnic i fa ús d'eines desconegudes fins al [[segle XVIII]].<ref group="Nota"> El raonament de l'època consistia a demostrar que tota solució és necessàriament un triangle dos costats adjacents del qual són d'igual longitud. Aquest resultat demostra la unicitat d'una eventual solució, però no en demostra l'existència. F. Dress indica: «O Perron ha observat que el mateix esquema de demostració provaria que "el nombre 1 és el major nombre natural", ja que a tot nombre natural ''a'' diferent d'1 se li pot en efecte associar un nombre natural més gran, el seu quadrat ''a''<sup>2</sup>. Aquest argument només demostra que el nombre 1 és l'únic candidat possible, i l'error d'aquesta "demostració" és evidentment que aquí el màxim no existeix. » F. Dress ''[http://smf.emath.fr/VieSociete/Rencontres/MAV+20/Brochure1987/35-57.pdf Quelques grands problèmes en mathématiques]'' Butlletí de la societat de matemàtiques de França T 115 (1987) pàg. 43</ref> L'existència d'una solució està íntimament vinculada al conjunt en el qual se cerca aquesta solució. Si, en l'exemple escollit, aquest conjunt s'estén al dels [[polígon]]s de perímetre 3, l'equació ja no admet solució. Per establir aquest resultat, es demostra al principi que una eventual solució seria necessàriament un polígon regular.<ref group="Nota">Es donarà una demostració a l'article [[Problema isoperimètric]]</ref> Ara bé, a mesura que el nombre de costats d'un polígon regular de perímetre donat augmenta, la seva àrea creix més; el que demostra l'absència de solució, ja que cap polígon regular no és d'àrea màxima.
La forma d'una solució depèn de les necessitats. L'equació que defineix el [[nombre d'or]] φ és: ''X''<sup>2</sup> - ''X'' - 1 = 0. Per a un arquitecte, la forma més pragmàtica és una aproximació decimal com 1,618. En canvi, si l'objectiu és d'establir la fórmula que enllaça la [[successió de Fibonacci]] (''u''<sub>n</sub>) amb
Línia 64:
[[Fitxer:Polynôme non résoluble.jpg|thumb|right|250 px|La gràfica del mòdul del valor numèric del polinomi ''X''<sup>5</sup> - 3''X'' + 2, mostra que pel capbaix admet quatre arrels (la cinquena no és pas visible a la gràfica), això il·lustra al [[teorema fonamental de l'àlgebra]] amb un cas particular.]]
La primera teoria d'equacions no fa referència més que a les [[equacions polinòmiques]], és a dir de la forma ''P''(''X'') = 0 on ''P'' és un [[polinomi]].<ref> L'ús d'una notació que indica una indeterminada més que una variable no és rara en àlgebra, és així com es defineix l'equació polinòmica a: ''[http://images.math.cnrs.fr/pdf2004/Lafforgue.pdf La théorie de Galois et l’arithmétique]'' Imatges de matemàtiques, CNRS (2004)</ref> Es basa
Si el [[grau d'un polinomi|grau del polinomi]] és igual a 2 i si els coeficients i les solucions cercades són reals, llavors aquests mètodes permeten trobar les solucions, anomenades arrels tal com varen descobrir els matematics catalans a l'edat mitjana (vegeu l'article [[Equació de segon grau]]). L'ús de la tècnica del [[canvi de variable]] permet estendre la família d'equacions que es resolen, així, com il·lustra l'exemple<ref group="Nota"> Aquesta equació pot servir d'exemple introductori, es tracta íntegrament al lloc vídeo: [http://www.kewego.fr/video/iLyROoaft5ZT.html Equation du second degré paramétrée] Exercici de matemàtiques</ref> e<sup>2x</sup> - (e<sup>a</sup> + e<sup>b</sup>)e<sup>x</sup> + e<sup>a+b</sup> = 0, es resol posant ''X'' = e<sup>x</sup>. Aquest mètode de canvi de variable no es limita a les equacions algebraiques.
Línia 70:
Per anar més lluny i resoldre l'[[equació cúbica]], és a dir, de tercer grau, els matemàtics italians del Renaixement varen descobrir la necessitat d'enriquir el conjunt dels nombres afegint-los els nombres imaginaris.<ref>Pel que fa a això vegeu: P. Freguglia ''Sobre la teoria de les equacions algebraiques entre el segle XVI i el segle XVII'' Bollettino di storia delle scienze matematiche 1994, volum 14, n°2, pàg. 259-298</ref> Aquest descobriment permet la resolució de les equacions de [[equació de tercer grau|tercer]] i [[equació de quart grau|quart grau]] (Vegeu els [[mètode de Cardan|mètodes de Cardan]] i [[Mètode de Ferrari|Ferrari]]).
El [[teorema fonamental de l'àlgebra]] estableix que tot polinomi de grau superior o igual a 1 i amb coeficients [[nombre real|reals]] o [[nombre complex|complexos]], admet pel cap baix una arrel complexa.<ref>Hi ha diverses formulacions d'aquest teorema. En la referència següent, es formula per: «El cos C dels nombres complexos és algebraicament tancat.», els enunciats semblen diferents però a l'article [[Teorema fonamental
Els dos teoremes precedents clouen la ''teoria d'equacions''. Aquesta expressió encara era vigent en matemàtiques durant tot el [[segle XIX]].<ref>Encara es troba al final del [[segle XIX]] per exemple: C. A. Laisant ''[http://archive.numdam.org/ARCHIVE/BSMF/BSMF_1887__15_/BSMF_1887__15__42_0/BSMF_1887__15__42_0.pdf Démonstration nouvelle du théorème fondamental de la théorie des équations]'' Butlletí de la S.M.F tom 1 (1887)</ref> Es manté en història de les ciències.<ref>Se la troba a l'article: Sobre la història del teorema fonamental de l'àlgebra: teoria de les equacions i càlcul integral Archive for History of Exact Sciences volum 42 n°2 pàg. 91 136.</ref> Encara es fa servir en matemàtiques,<ref> Es fa servir a l'enciclopèdia Encarta : ''[http://fr.encarta.msn.com/encyclopedia_761558588/%C3%A9quations_th%C3%A9orie_des.html équations, théorie des]'' Enciclopèdia Encarta</ref> però s'ha fet rara i una mica passada de moda.
Línia 102:
D'una equació ''(1)'' es passa a un sistema ''(2)'', de ''m'' equacions amb ''n'' desconegudes. Aquesta tècnica, consistent en passar d'una equació vectorial a un sistema de diverses equacions reals de diverses variables reals, no es limita al cas lineal.
Sota la forma (2), hi ha diversos [[algorisme]]s que permeten trobar una arrel. Si ''n'' és igual a '''m''' i si el [[determinant (matemàtiques)|determinant]] de la matriu ''a'' és no nul, és possible fer servir la [[regla de Cramer]]. No és l'algorisme més eficient, el [[mètode del pivot]] és més simple i més
=== Equació lineal i geometria ===
Línia 134:
L'ús d'una equació permet fer servir una nova àrea de les matemàtiques per resoldre qüestions de geometria. El sistema de referència cartesià transforma un problema de geometria en un problema d'[[anàlisi matemàtica|anàlisi]], una vegada les figures estudiades s'han traduït en equacions; d'on li ve el nom de geometria analítica.<ref>Es troba una definició general de la geometria analítica en: ''[http://www.sciences.ch/htmlfr/geometrie/geometrieanalytique01.php Géométrie analytique]'' per Science.ch no signat</ref> Aquest punt de vista, descobert per [[Descartes]], va enriquir i modificar la geometria tal com la concebien els matemàtics de la [[Grècia antiga]].<ref group="Nota">Les informacions que provenen d'aquest paràgraf estan disponibles al lloc web: ''[http://www.irem.univ-rennes1.fr/ressources/docs_themes/histoire/brochures/FMPH/FMPH1-ch06.pdf La naissance de la géométrie analytique: la Géométrie de Descartes (1637)]'' IREM de Rennes</ref>
Actualment, la geometria analítica designa una branca de les matemàtiques on la recerca és activa. Si bé fa servir sempre l'equació per caracteritzar una figura, també fa servir eines sofisticades procedents de l'[[anàlisi funcional]] o de l'[[àlgebra lineal]].<ref>Un ''[http://gdy.institut.math.jussieu.fr/files/ofman.html Séminaire de géométrie analytique complexe]'' mostra per exemple l'ús d'
=== Equació cartesiana i paramètrica ===
{{Principal|Equació cartesiana|Equació paramètrica}}
Existeix almenys dos mètodes per descriure una figura geomètrica amb l'ajuda d'equacions. La primera consisteix a descriure-la per una equació de la forma ''f''(''x'') = ''0'', on ''f'' és una funció de l'[[espai euclidià]] ''E'' de dimensió ''n'' en '''R'''<sup>d</sup> on ''d'' és un enter més petit que ''n''. Si ''f'' és una funció prou regular, ''n'' - ''d'' és la ''dimensió'' de la figura geomètrica. Si és igual a 1, la figura és una corba, si és 2, es parla de superfície, etc.<ref>La teoriadel grau es tracta a les pàgines 262 a 296 Marcel Berger, Bernard Gostiaux, Geometria diferencial: varietats, corbes i superfícies</ref> Tal equació es pot escriure també com un [[sistema d'equacions|sistema]] de ''d'' equacions amb valors en els reals exactament com pel cas de l'equació lineal. Aquest tipus d'equació s'anomena ''cartesiana'' si ''x'' s'expressa amb l'ajuda de les seves coordenades en un [[coordenades cartesianes|sistema de referència cartesià]].<ref>El lloc web següent, defineix i presenta exemples d'equacions cartesianes: N. Drakos R. Moore ''[http://www.geothalg.ulg.ac.be/cours1C/node125.html Équation cartésienne]'' del lloc web Géothalg.</ref> Les equacions descrites en el paràgraf precedent són totes cartesianes, com a la de la circumferència d'equació ''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> = 1.
Un altre mètode consisteix a descriure la figura geomètrica amb l'ajuda d'una funció ''f'' de '''R'''<sup>d</sup> en ''E'' de la següent manera, un punt ''m'' de ''E'' és element de la figura quan existeix un punt ''x'' del conjunt de definició de la funció ''f'' tal que ''f''(''x'') és igual a ''m''. En aquest cas, i depenent d'una regularitat suficient de ''f'' (n'hi ha prou que el seu [[diferencial total|diferencial]] sigui [[funció injectiva|injectiu]]), la figura és de dimensió ''d''. Es parla d'equació paramètrica de la figura geomètrica,<ref> Aquest vocabulari així com un exemple il·lustrat pel vídeo: S. Maniez ''[http://videos.france5.fr/video/iLyROoaft5oS.html Équation paramétrique de droite spatiale]'' pel lloc web videomath. Es troba també aquest vocabulari en documents més acadèmics on es troba «Posseeixen l'avantatge de tenir una equació paramètrica... » : L. Garnier S. Foufou ''[http://lionel.garnier.neuf.fr/these/Article/07_GTMG03.pdf Détermination des équations implicites d'une supercyclide]'' LE2I CNRS UFR Sciences, Université de Bourgogne</ref> aquesta definició de l'equació està relativament allunyada d'aquella que es troba en àlgebra.
Línia 161:
{{Principal|Nombre algebraic|Nombre transcendent}}
[[Fitxer:Carl Louis Ferdinand von Lindemann.jpg|right|thumb|[[Ferdinand von Lindemann|Lindemann]] demostra que cap [[equació polinòmica]] amb [[coeficient]]s [[nombre enter|enters]] no admet [[pi (nombre)|π]] com arrel.]]
En lloc de preguntar-se quins nombres són solucions d'una equació donada, es pot considerar el problema invers: de quines equacions un nombre donat n'és solució? Un nombre s'anomena [[nombre racional|racional]] si és solució d'una [[equació de primer grau]] amb [[coeficient]]s [[nombre enter|enters]]. S'anomena [[nombre algebraic|algebraic]] si és solució d'una [[equació polinòmica]] amb coeficients enters. Si no és algebraic, s'anomena [[nombre transcendent|transcendent]]. Així, per a un nombre donat, l'objectiu és de trobar les eventuals equacions polinòmiques de les quals aquest nombre n'és arrel (vegeu l'article [[Polinomi mínim d'un nombre algebraic]]).
Per exemple per a la [[arrel quadrada de 2|√<span style="text-decoration:overline">2</span>]], es planteja la qüestió de saber si és possible construir una equació de primer grau que tingui aquest valor per arrel. Es resol fàcilment: si existeix tal equació, se'n dedueix l'expressió ''2·a''<sup>2</sup> = ''b''<sup>2</sup>, on ''a'' i ''b'' són nombres naturals. L'anàlisi de la [[descomposició en factors primers]] mostra que el terme de la dreta conté el factor 2 un nombre parell de vegades i el de l'esquerra un nombre senar. Aquesta observació demostra que √<span style="text-decoration:overline">2</span> no és un nombre racional.<ref group="Nota">Es donaran més detalls a l'article [[arrel quadrada de dos]]</ref> En canvi, és per definició algebraic, ja que és solució de l'equació ''X''<sup>2</sup> - 2 = 0.
Línia 182:
Per concloure cal la geometria, i més precisament la [[geometria algebraica]]. L'equació de l'últim teorema de Fermat s'escriu la manera següent ''x''<sup>n</sup> + ''y''<sup>n</sup> = ''z''<sup>n</sup>. A condició d'estudiar les solucions en els nombres racionals, es pot dividir entre ''z''<sup>n</sup> i escriure's l'equació ''q''<sup>n</sup> + ''r''<sup>n</sup> = 1. Si ''q'' i ''r'' es trien entre els [[nombres complexos]], notats aquí ''C'', geomètricament, aquesta equació correspon a una figura de ''C''<sup>2</sup>, es tracta d'una superfície real en un espai de dimensió 4. Vista en l'espai projectiu de ''C''<sup>2</sup>, s'obté una superfície real, submergida a un [[espai compacte]] la visualització del qual no és intuïtiva. N'hi ha prou amb conèixer els punts racionals d'aquesta superfície per permetre concloure sobre les solucions del teorema de Fermat.
La [[topologia]] ofereix elements de resposta per a aquesta equació. Una superfície d'aquesta naturalesa posseeix un [[gènere (matemàtiques)|gènere]]. Topològicament, pot ser [[homeomorfisme|equivalent]] a una esfera (gènere 0), en un [[tor (figura geomètrica)|tor]] (gènere 1) o a una figura amb ''n'' forats (gènere ''n''). En el cas d'una [[varietat algebraica]], definida per una equació del tipus ''P''(''X'', ''Y''), on ''P'' és un polinomi amb coeficients racionals, el gènere de la varietat és una indicació sobre el nombre de solucions. Aquest resultat, que porta el nom de [[teorema de Faltings]], és de la mateixa família d'eines que les que es fan servir per a la demostració del teorema de Fermat.<ref group="Nota">La mateixa família no vol dir que Wiles fes servir el teorema de Faltings, per a la seva demostració. Per comprendre els treballs de Faltings, es pot
== Anàlisi ==
Línia 194:
</center>
En [[anàlisi matemàtica]], ben sovint és impossible intentar resoldre una equació per tècniques elementals de substitució o transformació, esperant aïllar la variable. I fins i tot quan això es demostra possible, com per a certes equacions algebraiques, si l'objectiu és l'obtenció d'un valor numèric, l'enfocament que es descriu en aquest paràgraf sovint és menys costós computacionalment.<ref group="Nota">Al començament Newton va
<center><math>\sin(x) = \ln \left( \frac 1{\sqrt x} \right) </math></center>
Línia 206:
=== Equació vectorial ===
[[Fitxer:gradient ascent (contour).png|225px|left|thumb|El mètode del descens del gradient s'aplica a tota equació d'un espai vectorial de dimensió finita i amb valors en
Si l'equació pren la forma ''f''(''x'') = 0 on ''f'' és una funció d'un [[espai vectorial]] ''E'' amb valors en un espai vectorial ''F'' el vector nul del qual és notat 0, les idees de l'àlgebra lineal encara es poden aplicar parcialment. És possible escollir una base d'''E'' i una de ''F'' i expressar ''f'' amb l'ajuda de ''m'' funcions ''f''<sub>j</sub> [[funció real|reals]] de ''n'' variables ''x''<sub>k</sub>, on ''m'' és la dimensió de ''F'' i ''n'' la de ''E'', s'obté el que s'anomena un sistema d'equacions, de la forma següent:
<center><math>\quad \left\{\begin{matrix} f_1(x_1,\cdots x_n) = 0 \\ f_2(x_1,\cdots x_n) = 0 \\ \vdots \\ f_m(x_1,\cdots x_n) = 0\end{matrix}\right.</math></center>
Línia 215:
La derivada, o més aviat el [[diferencial total|diferencial]] de ''f'' es pot fer servir de diverses maneres. La primera és una simple adaptació del mètode de Newton, a partir d'un punt ''x''<sub>0</sub>, es resol l'equació lineal tangent en aquest punt, és a dir D''f''<sub>x<sub>0</sub></sub>·''h'' + ''f''(''x''<sub>0</sub>) = 0. El valor ''x''<sub>1</sub> és igual a ''x''<sub>0</sub> + ''h'' i es reitera el procés per obtenir una successió. Si ''E'' és igual a ''F'' i per permetre una convergència més ràpida, es resol sovint una equació lineal anàloga, però tal que l'aplicació lineal associada defineix un producte escalar. Aquesta astúcia permet una acceleració del temps de tractament de la resolució de les equacions lineals intermèdies, el mètode associat porta el nom de [[Metode de quasiNewton|quasiNewton]].<ref>Aquest lloc web presenta el mètode de Newton i de Quasinewton i explica per què el mètode de Newton és més ràpid: R. Tapiero ''[http://lapcs.univ-lyon1.fr/~tapiero/m2ef/4mn.pdf Méthodes newtoniennes]'' Universitat de Lyon I</ref>
Un altre mètode consisteix
=== Anàlisi funcional ===
Línia 221:
Si l'espai vectorial ''E'' és més vast i ja no és de dimensió finita, s'han de fer servir altres idees per resoldre l'equació. Aquest cas es dóna si la desconeguda ''x'' designa una funció. Encara més, és en va cercar mètodes sistemàtics per expressar les solucions sota la forma d'una composició de funcions elementals, els casos on tals expressions existeixen són més l'excepció que la regla.
Un mètode general<ref>Aquest enfocament és comú a les dues referències bibliogràfiques d'aquest article: Els llibres de J P. Aubin i de H. Brézis</ref> consisteix
<center><math>\langle f,g\rangle = \int_a^b f(\mu)g(\mu) \mathrm d\mu</math></center>
Amb l'ajuda d'aquesta distància, es construeix una successió de funcions (''x''<sub>n</sub>) que verifica la [[successió de Cauchy|propietat de Cauchy]], és a dir que si els
<center><math>(1)\quad F(x) = g \quad\text{amb}\quad F : x \rightarrow F_x(t) = \int_a^b K(t,\mu)\,x(\mu)\mathrm d \mu</math></center>
La successió (''x''<sub>n</sub>) s'ha construït de tal manera al que la distància entre les funcions ''F''<sub>x<sub>n</sub></sub>(''t'') i ''g''(''t'') tendeixi cap a zero. La dificultat és que una successió de Cauchy no convergeix necessàriament en ''H''<sub>p</sub>, el que ve a dir que aquest espai no és [[espai complet|complet]]. Llavors
== Sistemes dinàmics ==
Línia 243:
<center><math>f\left(t,p(t),\frac {\mathrm dp}{\mathrm dt}(t), \frac {\mathrm d^2p}{\mathrm dt^2}(t)\right)= 0</math></center>
Finalment, l'objectiu pot ser determinar l'estat d'un objecte que no es tradueix en un vector d'un espai de dimensió finita, sinó per una funció, com per exemple l'estat d'una [[corda vibrant]]. Es parla d'[[equació en derivades parcials]].<ref>Per a l'estudi del comportament asimptòtic d'un sistema dinàmic regit per una equació en derivades parcials particulars,
=== Equació diferencial ===
Línia 264:
La física proposa diversos exemples on la solució buscada no depèn d'una sinó de diverses variables. Un cas relativament simple és el d'una ona sobre una [[corda vibrant]]. La funció que descriu la seva posició depèn de dos paràmetres, el temps i una coordenada per descriure un punt de la corda. Per descriure una ona calen tres variables, dues descriuen la posició d'un punt de la superfície i la tercera el temps. En [[física quàntica]], la [[relació fonamental de la dinàmica]] es tradueix per una [[equació d'ona]] que requereix quatre variables, tres per a l'espai i una pel temps. Aquest principi fonamental s'anomena [[equació de Schrödinger]].
L'equació equivalent a la del paràgraf precedent, per a una funció ''x'' de diverses variables, s'anomena equació en derivades parcials. L'equivalent del problema de Cauchy s'expressa de manera més complexa. la condició inicial és reemplaçada per les [[condicions de contorn]]. En certs casos se cerca com a solució una funció definida sobre {{nowrap|Ω × [''a'', ''b'']}} on Ω és un obert que se suposa fitat, [[espai connex|connex]] i tal que la seva frontera és regular,<ref group="Nota">Aquestes hipòtesis de regularitat del domini no són generals, s'estudien de vegades dominis la frontera dels quals és una [[fractal]], un article
En [[meteorologia]], la [[previsió numèrica del temps]] consisteix
Certes equacions en derivades parcials no són tan complexes. [[Jean Baptiste Joseph Fourier|Fourier]], un matemàtic de començament del [[segle XIX]] havia trobat com es difon la calor en un cos sòlid en el cas de condicions de contorn simples.<ref>L'article original és: [[Jean Baptiste Joseph Fourier|J. Fourier]] ''[http://visualiseur.bnf.fr/StatutConsulter?N=VERESS6-1232742876071&B=1&E=PDF&O=NUMM-3370 Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides]'' Mémoires de l'Académie royale des sciences de l'Institut de France anys 1821 i 1822, t. V, pàgines 153 a 246; 1826</ref> L'especificitat d'aquesta equació, com la de la que descriu les ones que es propaguen sobre una corda vibrant és de ser lineal, és a dir que se la pot posar sota la forma ''a(x)'' + ''b'' = 0, on ''a'' és un operador lineal construït amb l'ajuda de derivades parcials i ''b'' una funció particular. El cas lineal es tracta smb una teoria «relativament ben constituïda».<ref> Aquesta citació prové de: ''[http://www.universalis.fr/encyclopedie/E953331/DERIVEES_PARTIELLES_EQUATIONS_AUX_Theorie_lineaire.htm Dérivées partielles - Théorie linéaire (équations aux)]'' Encyclopaedia Universalis</ref> L'eina principal és un espai funcional particular, anomenat de [[Espai de Sovolev|Sobolev]].
Línia 274:
=== Condició inicial ===
[[Fitxer:Julia set (highres 01).jpg|thumb|220px|La frontera d'un [[conjunt de Julia]] en general és un de [[fractal]].]]
Una de les qüestions que es formula sobre els sistemes
Un mètode per apropar-se a la resposta, és estudiar els casos més simples possibles. S'intenta comprendre aquest fenomen sobre una successió recurrent definida per l'equació: ''x''<sub>n+1</sub> = ''f''(''x''<sub>n</sub>) on ''f'' és un polinomi de segon grau, real o complex. Un cas molt estudiat el de ''f''(''x'') = ''x''<sup>2</sup> + ''c''. Aquí La condició inicial és el valor de ''x''<sub>0</sub>, un nombre complex. ''J''<sub>c</sub> és el conjunt de les condicions inicials tals que la successió és fitada, s'anomena [[conjunt de Julia]], un exemple del qual s'il·lustra a la figura de l'esquerra. Tota condició inicial ''p'' fora de la [[frontera (topologia)|frontera]] de ''J''<sub>c</sub> posseeix un [[Veïnat (matemàtiques)|veïnat]] que no conté més que condicions inicials tals que el comportament de les successions que els hi correspon són qualitativament anàlogues. Els colors indiquen els valors de convergència, la intensitat simbolitza la velocitat de convergència.<ref>Es troba l'explicació d'aquesta figura a: J. Dubois J. Chalin ''Le monde des fractales'' Ellipse (2006) Ellipses {{ISBN|272982782}}</ref>
Una primera qüestió que es planteja és el ''pes'' de la zona frontera. Sobre aquesta zona, existeix sempre una pertorbació de la condició inicial, per mínima que sigui, que modifica la naturalesa de la solució. En les configuracions ''clàssiques'', una frontera d'una figura geomètrica de dimensió 2 té [[àrea]] nul·la, fins i tot si la figura té una àrea estrictament positiva. Així, un [[cercle]] de radi estrictament positiu és d'àrea estrictament positiva i la seva frontera, una [[circumferència]] d'igual radi, té àrea nul·la. En canvi, la circumferència, considerada com una corba, té una [[longitud]] finita. Per la frontera del conjunt de Julia, aquest mètode es mostra de vegades inoperant, es pot trobar una longitud infinita, si la frontera es considera com una corba.<ref>És el cas si ''c'' és un real de l'interval ]-2, 2[, diferent de 0: C. Vercken [http://www.infres.enst.fr/~vercken/julia/mandel.html Ensemble de Julia]'' per l'
=== Caos ===
{{Principal|Teoria del caos}}
[[Fitxer:LogisticMap_BifurcationDiagram.png|thumb|right|250px|Una successió recurrent, fins i tot definida de manera simple, permet veure l'aparició de
La sensibilitat a la condició inicial no és l'única qüestió a resoldre per elaborar una teoria general dels sistemes dinàmics. També es desitja conèixer el comportament límit del sistema, també anomenat comportament ''asimptòtic'', és a dir el que es dóna una vegada que ''s'ha esperat
A més, és útil considerar el sistema dinàmic més simple possible, per comprendre pel capbaix qualitativament els mecanismes que entren en joc. Com abans, es fa servir una successió recurrent definida per un polinomi del segon grau ''P''<sub>r</sub>, aquesta vegada real amb valors reals. La [[sucessió logística]] es defineix per recurrència: ''x''<sub>r,n+1</sub> = r·''x''<sub>r,n</sub>.(1 - ''x''<sub>r,n</sub>). Un dels encants d'aquesta successió és que el seu comportament és relativament independent de la condició inicial si s'escull entre 0 i 1.<ref group="Nota">Un estudi simple es proposa a l'article: D. Perrin ''[http://www.math.u-psud.fr/~perrin/Conferences/logistiqueDP.pdf La suite logistique et le chaos]'' Université Paris Sud 11 Orsay</ref>
[[Fitxer:Airplane vortex edit.jpg|thumb|left|Les [[flux turbulent|turbulències]] generades per les masses d'aire al voltant d'
L'objectiu és augmentar el valor de ''r'', al començament nul, i estudiar aquest comportament asimptòtic. Si una funció ''f'' té un punt fix ''p''<sub>f</sub>, amb [[derivada]] estrictament compresa entre -1 i 1, en valor absolut, i si la successió definida per ''x''<sub>n+1</sub> = ''f''(''x''<sub>n</sub>) pren un valor ''proper'' a aquest punt fix, llavors convergeix cap a ''p''<sub>f</sub>. Aquest punt s'anomena [[atractor]] i la zona dels valors inicials on les sucessions convergeixen cap a aquest punt s'anomena conca d'atracció. Per a una successió logística la conca d'atracció principal conté sempre ]0, 1[, tret d'un [[conjunt de mesura nul·la]], sigui quin sigui el valor de l'atractor. La successió sembla ser atreta, com per un imant cap a aquest atractor. Si ''r'' està comprès entre 0 i 3, l'atractor és un punt i la successió convergeix. A partir del valor 3, el polinomi ''P''<sub>r</sub> ja no posseeix punt fix, però el polinomi compost amb ell mateix, en posseeix un, si ''r'' és prou petit. El comportament asimptòtic de la successió és una oscil·lació entre els dos punts fixos atractius de ''P''<sub>r</sub><sup>2</sup>. El valor 3 de ''r'' s'anomena una ''bifurcació''. L'atractor esdevé un conjunt en dos elements, il·lustrat a la figura de la dreta. En el punt 1+√<span style="text-decoration:overline">6</span>, es produeix una nova bifurcació, l'atractor té llavors 4 punts. El cardinal de l'atractor augmenta cada vegada més en funció de ''r'' duplicant-se, fins a atènyer un valor infinit per a ''r'' igual a μ, qui se situa
Es fa necessari precisar el que se sent per «atractor»: és la intersecció dels conjunts ''A''<sub>n</sub> on ''A''<sub>n</sub> és la [[clausura (matemàtiques)]] dels punts ''x''<sub> k</sub> per a ''k'' superior a ''n''. En el cas de la successió logística i a excepció d'un conjunt de mesura nul·la, l'atractor és independent de la condició inicial. Es pot veure l'atractor ''A''<sub>r</sub> com un conjunt que atreu els elements de la successió, la qual, a partir d'un cert rang, esdevé arbitràriament propera a ''A''. Entre μ i 4, és possible un triple comportament. Per a un conjunt ''H'' (d'«hiperbòlic»<ref>D. Perrin ''[http://www.math.u-psud.fr/~perrin/Conferences/logistiqueDP.pdf La suite logistique et le chaos]'' Université Paris Sud 11 Orsay pàg. 43</ref>) de valors del paràmetre ''r'' que és un obert dens de [μ, 4], l'atractor és un conjunt finit<ref>Aquest resultat és molt més recent: M. Lyubich ''Dynamics of quadratic polynomials I, II'' Acta Math. 178, No 2,pàgines 185 297 (1997)</ref> (comportament cíclic). Per a un altre conjunt ''C'' (de «caòtic»<ref>D. Perrin ''[http://www.math.u-psud.fr/~perrin/Conferences/logistiqueDP.pdf La suite logistique et le chaos]'' Université Paris Sud 11 Orsay pàgina 43</ref>) de valors del paràmetre, que l'és tancat, [[Glosari de topologia|totalment discontinu]] i de [[mesura (matemàtiques)|mesura]] estrictament positiva, per a [[quasi per a tot|gairebé tots]] els valors inicials ''x''<sub>0</sub> (dependent de ''r'') l'atractor és un interval d'interior no buit i el comportament és caòtic,<ref>Aquest resultat és l'obra de: M.V. Jakobson ''Absolutely continuous invariant measures for one-parameter families of one-dimensional maps'' Commun. Math. Phys. 81, pàgines 39 88 (1981)</ref> és a dir que evoluciona sense ordre aparent, a excepció d'un conjunt de mesura nul·la, semblant que evoluciona al grat de l'atzar, fins i tot si aquesta evolució és de fet determinista. L'últim comportament es produeix sobre el conjunt ''A'', complementari de la unió de ''C'' i de ''H'' en [μ, 4]. El conjunt ''A'' no és buit, el comportament és llavors més complex i fa intervenir, com a atractor, els [[conjunt de Cantor|conjunts de Cantor]].<ref group="Nota">Per comprendre el comportament una mica estrany de la successió en aquest cas particular, es pot consultar el llibre següent, que tracta qüestions d'aquesta naturalesa: W. de Melo S. van Strien ''One-Dimensional Dynamics'' Springer (1996) {{ISBN|3540564128}}</ref> Des del 2002, se sap que ''A'' és de mesura nul·la.<ref>M. Lyubich ''Almost every real quadratic map is either regular or stochastic'' Ann. Math. (2) 156, No 1, pàgine 1 78 (2002)</ref>
Aquest comportament s'aplica també a les equacions diferencials o a les equacions en derivades parcials. [[Edward Lorenz]] ha trobat una equació diferencial relativament simple, que té un atractor fractal, generalment qualificat d'estrany, es representa a la segona il·lustració d'aquest article.<ref>V. Isoz ''[http://www.sciences.ch/htmlfr/ingenierie/geniemeto.php Équation de Lorenz]'' Sciences.ch (Génie marin et météo)</ref> Certes equacions diferencials no poden tenir solucions tan complexes, el [[teorema de Poincaré-Bendixson]] mostra una família d'equacions que no tenen comportament caòtic.<ref>R. Kollár ''[http://www.math.lsa.umich.edu/~kollar/math404/poincare.pdf The Poincaré-Bendixon theorem]'' University of Michigan</ref> Solucions caòtiques complexes apareixen també en les equacions en derivades parcials, se les troba en les modelitzacions dels moviments de les masses d'aire, per exemple al voltant de les ales d'un avió, prenen la forma de [[flux turbulent|turbulències]]. El [[2009]], l'estat de les matemàtiques
== Notes ==
| |||