Problema d'Apol·loni: diferència entre les revisions

Al segle XVI, [[Adriaan van Roomen]] resolgué el problema utilitzant [[hipèrboles]] secants, però aquesta solució no es basa únicament en construccions amb [[construcció amb regle i compàs|regle i compàs]]. [[François Viète]] trobà una solució aprofitant la simplificació dels casos extrems: qualsevol de les tres circumferències donades es pot reduir fins a tenir un [[radi (geometria)|radi]] nul (un [[punt (geometria)|punt]]) o ampliar fins que tingui un radi infinit (una [[recta]]). L'enfocament de Viète, que utilitza casos extrems senzills per resoldre'n d'altres més complicats, es considera una reconstrucció plausible del mètode de Apol·loni. El mètode de van Roomen fou simplificat per [[Isaac Newton]], que mostrà que el problema d'Apol·loni és equivalent a trobar una posició coneixent les diferències de distàncies a tres punts coneguts. Això té aplicacions en navegació i en sistemes de posicionament com el [[LORAN]].

 

 

El problema d'Apol·loni ha impulsat molta recerca addicional. S'han estudiat generalitzacions en tres dimensions —la construcció d'una [[esfera]] tangent a quatre esferes donades— i en dimensions superiors. La disposició de tres circumferències tangents entre elles ha rebut una atenció especial. [[René Descartes]] donà una fórmula que relaciona els radis de les circumferències donades i els de les circumferències resolutòries, que es coneix actualment com a [[teorema de Descartes]]. En aquest cas, la resolució iterant del problema d'Apol·loni duu a la formació d'un dels primers [[fractals]] descoberts i dibuixats. Aquest fractal té importància en [[teoria de nombres]], concretament en les [[circumferències de Ford]] i en el [[mètode de la circumferència de Hardy-Littlewood]].

[[François Viète]], que va ser precisament el primer a convèncer el seu amic Van Roomen a treballar en el problema d'Apol·loni, desenvolupà un mètode que precisa solament l'ús de construccions amb regle i compàs.<ref name="viete_1970">{{ref-llibre| autor = Viète, F |enllaçautor = François Viète| títol = Francisci Vietae Opera mathematica | capítol = Apollonius Gallus. Seu, Exsuscitata Apolloni Pergæi Περι Επαφων Geometria| editor = Frans van Schooten| url = http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k107597d.r=.langEN|editorial = ex officina B. et A. Elzeviriorum (Lugduni Batavorum)|pàgines = 325–346|any=1600 (publicat 1646)|llengua=llatí}} </ref> Abans del mètode de resolució de Viète, [[Regiomontanus]] dubtava de la possibilitat de resolució del problema d'Apol·loni amb regle i compàs.<ref name="boyer_1991_322">{{ref-llibre| autor = [[Carl Benjamin Boyer|Boyer, CB]]; Merzbach, UC| any = 1991| títol = A History of Mathematics| edició= 2a| editorial = John Wiley & Sons, Inc.|isbn=0-471-54397-7| capítol = Apollonius of Perga| pàgines = 322}} {{en}}</ref> Viète resolgué en primer lloc alguns casos especials senzills del problema d'Apol·loni, com trobar una circumferència que passi per tres punts donats, que només té una solució si els punts són diferents; llavors construí solucions per casos especials més complicats, en alguns d'aquests casos mitjançant la reducció o l'ampliació de les circumferències donades.<ref name="Dörrie 1965"/> Segons la referència del segle IV de [[Pappos d'Alexandria]], el llibre propi d'Apol·loni sobre aquest problema —titulat {{lang|el| Ἐπαφαί}} (''{{lang|el-Latn|Epaphaí}}'', "Tangències"; Llatí: ''De tactionibus'', ''De contactibus'')— seguia una aproximació progressiva similar.<ref name="pappus"/> Per tant, la resolució de Viète es considera una reconstrucció plausible de la resolució d'Apol·loni, encara que també s'han publicat independentment altres reconstruccions fetes per tres autors més.<ref name="alt_reconstructions">[[Robert Simson|Simson, R]] (1734) ''Mathematical Collection'', volum VII, pàg. 117.<br />{{ref-llibre| autor = Zeuthen HG| any = 1886| títol = Die Lehre von den Kegelschnitten im Altertum| editorial = Desconegut| lloc = Copenhaguen| pàgines = 381–383}} {{de}}<br />{{ref-llibre| autor = [[T. L. Heath|Heath, TL]]| títol = A History of Greek Mathematics, Volum II: From Aristarchus to Diophantus| editorial = Clarendon Press| lloc = Oxford| pàgines = 181–185, 416–417}} {{en}}</ref>

 

 

[[René Descartes]] i [[Elisabet de Bohèmia]] foren els primers a proporcionar resolucions algebraiques, encara que els mètodes que utilitzaven eren força complexos.<ref name="altshiller-court_1961" /> A finals del segle XVIII i durant el XIX, es van desenvolupar altres mètodes algebraics més pràctics per part de molts matemàtics, incloent [[Leonhard Euler]],<ref>{{ref-publicació|autor= [[Leonhard Euler|Euler, L]]|any= 1790|títol= Solutio facilis problematis, quo quaeritur circulus, qui datos tres circulos tangat|publicació= Nova Acta Academiae Scientarum Imperialis Petropolitinae|volum= 6|pàgines= 95–101| url = http://www.math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E648.pdf|format=PDF}} {{la}} Reimprès a ''Opera Omnia'' d'Euler, sèrie 1, volum 26, pàg. 270–275.</ref> [[Nicolaus Fuss]],<ref name="altshiller-court_1961" /> [[Carl Friedrich Gauss]],<ref name="gauss_1810" >{{ref-llibre| autor = [[Carl Friedrich Gauss|Gauss, CF]]| any = 1873| títol = Werke, 4. Band| editorial = Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften| lloc = Göttingen| edició = reimpresa el 1973 per Georg Olms Verlag (Hildesheim)| pàgines = 399–400| isbn = 3-487-04636-9}} {{de}}</ref> [[Lazare Carnot]]<ref name="carnot_1803a" >{{ref-llibre| autor = [[Lazare Carnot|Carnot, L]]| any = 1801| títol = De la corrélation dans les Figuras de géométrie| editorial = editor desconegut| lloc = París| pàgines = No. 158–159}} {{fr}}<br />{{ref-llibre| autor = [[Lazare Carnot|Carnot, L]]| any = 1803| títol = Géométrie de position| editorial = editor desconegut| lloc = París| pàgines = 390, §334}} {{fr}}</ref> i [[Augustin Louis Cauchy]].<ref>{{ref-publicació|autor= [[Augustin Louis Cauchy|Cauchy AL]]|mes= Juliol|any= 1806|títol= Du cercle tangent à trois cercles donnés|publicació= Correspondance sur l'École Polytechnique|volum= 1|exemplar= 6|pàgines= 193–195}} {{fr}}</ref>