Equacions de camp d'Einstein: diferència entre les revisions

{{RG}}Les '''equacions de camp d'Einstein''', també anomenades simplement '''''equacions d'Einstein''''' o '''''equació d'Einstein''''', són el conjunt bàsic d'equacions de la [[relativitat general]]. Descriuen la relació entre la curvatura de l'[[espai-temps]] (expressada amb el [[tensor d'Einstein]]) i l'energia i el moment dins l'espai-temps (expressada amb el [[tensor energia-impuls]]). En altres paraules, permeten determinar la curvatura de l'espai-temps a partir de la distribució de masses i energies que hi ha en aquest espai-temps, així com determinar com es desplacen les masses a causa de la mateixa curvatura de l'espai-temps. Aquesta curvatura de l'espai-temps s'interpreta com el camp gravitatori creat per les masses.

De forma molt aproximada, les equacions d'Einstein tenen l'estructura general:

onen què <math>R_{\mu \nu}</math> és el [[tensor de Ricci]], ''R'' és l'[[escalar de Ricci]], <math>g_{\mu \nu}</math> és el [[tensor mètric]], Λ és la [[constant cosmològica]], ''G'' és la [[constant gravitacional]] (aprox. 6,6742·10^-11 m³kg^-1s^-2), ''c'' és la [[velocitat de la llum]] (exactament 299.792.458 m/s) i <math>T_{\mu \nu}</math> és el [[tensor de energia-moment|tensor energia-impuls]].

D'aquesta manera, les equacions de camp d'Einstein s'escriuen com una equació tensorial que relaciona un conjunt de [[tensor (matemàtiques)|tensors]] simètrics 4 × 4. Està escrita en funció de lesdels sevesseus components; cada tensor té 10 components independents (de lesdels 16 possibles) i, a causa de la llibertat per a escollir les coordenades d'un espai-temps de quatre dimensions, sse n'obtenen finalment sis equacions independents.

Λ, la [[constant cosmològica]], fou introduïda per Einstein per permetre solucions estàtiques del model cosmològic que s'obté de les equacions. Posteriorment, el mateix Einstein va qualificar aquest terme com «el major error de la meva vida», però avui en dia torna a plantejar-se la qüestió, ja que les observacions astronòmiques semblen implicar que Λ és diferent de zero, al capdavall (''vegeu [[energia fosca]] i [[model Lambda-CDM]]''). Si considerem Λ = 0, l'equació es pot escriure de formamanera més simplificada definint el [[tensor d'Einstein]]:

La part de l'esquerra representa la curvatura de l'espai-temps tal com queda determinada per la mètrica, i l'expressió de la dreta representa el contingut de massa i energia de l'espai-temps. Aquesta equació es pot interpretar, llavors, com un conjunt d'equacions de descriuen com la curvatura de l'espai-temps es relaciona amb el el contingut de massa/energia de l'univers. Aquestes equacions, juntament amb l'equació de la geodèsica, formen el cor de la formulació matemàtica de la relativitat general.

Les equacions de camp d'Einstein tenen moltes solucions possibles, en funció de les condicions inicials que hi imposem, com característiques del tensor energia-impuls o determinades restriccions a la mateixa solució, com certes simetries. Les solucions de les equacions són [[mètrica (matemàtiques)|mètriques]] de l'[[espai-temps]]; per tant, sovint, aquestes solucions s'anomenen simplement «mètriques». Aquestes mètriques descriuen l'estructura (la geometria) de l'espai-temps i el moviment inercial de masses dins d'aquest espai-temps.

Com les equacions són no lineals, no es poden solucionar de formamanera exacta (és a dir, sense fer aproximacions). Per exemple, no es coneix una solució analítica completa per a un espai-temps amb dos cossos massius en ellaquest (que és un model teòric d'un sistema estel·lar binari, per exemple). Tot i així, això no vol dir que no es puguin obtenir solucions numèriques i, a més, és habitual realitzar-hi aproximacions simplificadores. Malgrat la complexitat del procés de solució, hi ha diversos casos en què s'han trobat les solucions analítiques exactes de les equacions de camp, són les anomenades [[solucions exactes de la relativitat general|''solucions exactes de la relativitat general'']].

Un cas especialment simple es produeix quan considerem el cas de l'espai buit, sense masses ni efectes gravitatoris. En aquest cas, el tensor impuls-energia, <math>T_{\mu\nu}</math>, és igual a zero en la regió considerada, i les equacions de camp, sense constant cosmològica, es poden escriure com:

Les solucions d'aquest cas es coneixen com a «solucions del buit». L'exemple més simple de solució del buit és l'[[espai de Minkowski]] pla, mentre que altres solucions no trivials són la [[mètrica de Schwarzschild]] o la [[mètrica de Kerr]].