Suposant que ''M'' és una varietat C<sup>''k''</sup> ''(k'' ≥ 1) i ''x'' és un punt en ''M''. Es tria ununa [[Varietat (matemàtiques)#Cartes|carta]] φ : ''U'' → '''R'''<sup>''n''</sup> on ''U'' és un [[conjunt obert|subconjunt obert]] de ''M'' que conté ''x''. Suposeu dues corbes γ<sub>1</sub> : (-1,1) → ''M'' i γ<sub>2</sub> : (-1,1) → ''M'' amb γ<sub>1</sub>(0) = γ<sub>2</sub>(0) = ''x'' són donades tals que φ ∘ γ<sub>1</sub> i φ ∘ γ<sub>2</sub> són les dues diferenciables a 0. Llavors γ<sub>1</sub> i γ<sub>2</sub> s'anomenen ''tangents a 0'' si les derivades ordinàries de φ ∘ γ<sub>1</sub> i φ ∘ γ<sub>2</sub> a 0 coincideixen. Això defineix una [[relació d'equivalència]] en tals corbes, i les [[classes d'equivalència]] es coneixen com els vectors tangents de ''M'' a ''x''. La classe d'equivalència de la corba γ s'escriu com γ'(0). L'espai tangent de ''M'' a ''x'', notat per T<sub>''x''</sub>''M'', es defineix com el conjunt de tots els vectors tangent; no depèn de l'elecció de la carta φ.
[[Fitxer:Tangentialvektor.svg|thumb|deixat|200px|L'espai tangent <math>\scriptstyle T_xM</math> i un vector tangent <math>\scriptstyle v\in T_xM</math>, al llarg d'una corba que passa a través de <math>\scriptstyle x\in M</math>]]
