Anell euclidià: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m Corregit: estudi del [[equació > estudi de l'[[equació |
m Corregit: - l'axioma de elecció que + l'axioma d'elecció que |
||
Línia 142:
Si es disposa d'un algorisme efectiu de divisió euclidiana, com per exemple en''Z'' o en els polinomis amb coeficients en un cos, es poden definir algorismes efectius que sobministren explícitament objectes l'existència dels quals continua sent teòrica en un marc més general. Així l'[[algorisme d'Euclides]] es generalitza i permet trobar un generador de la suma de dos ideals (en altres paraules, permet trobar un màxim comú divisor de dos elements). Igualment, el [[teorema dels factors invariants]] permet trobar una [[base (àlgebra lineal)|base]] d'un ''A''-[[mòdul]] de tipus finit.
''Observació:'' Per provar que un anell euclidià és principal, només s'ha utilitzat l'existència d'una prenorma i no la d'una norma, el que explica que certs autors no s'interessin més que pels prenormes (que anomenen normes).<ref>D. Perrin, ''Curs d'àlgebra'', edició Ellipses, 2004, déf. 3.28, p. 50. R. Goblot, ''Àlgebra commutativa ''Masson, 1997, pàg. 23</ref> Tanmateix, la prova del fet que un anell principal és factorial descansa (quant a l'existència de la descomposició en productes d'elements irreductibles) sobre l'[[axioma de l'elecció]]. En el cas d'un anell euclidià, l'existència d'una norma (i no només d'una prenorma) permet de provar sense recurs a l'axioma
{{Caixa desplegable|títol=Demostració|contingut=
| |||