Demostració de l'últim teorema de Fermat: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m Corregit: - entre sí si + entre si si |
m Corregit: - entre sí. + entre si. |
||
Línia 72:
El cas ''n'' = 3 és més complex<ref>{{Dickson1}}, vol. 2, <span class="citation not_fr_quote" lang="en">« <span class="italique">Impossibility of <span class="texhtml">x<sup>3</sup> + y<sup>3</sup> = z<sup>3</sup></span></span> »</span>, [https://books.google.fr/books?id=9LQqAwAAQBAJ&pg=PA548 <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 545-550].</ref>. [[Leonhard Euler|Euler]] va escriure a [[Christian Goldbach|Goldbach]] el [[1753]], indicant-lo que l'havia resolt. L'única prova que va publicar, el 1770 en el seu ''Algebra'', és tanmateix incomplet,<ref><span class="citation not_fr_quote" lang="en">« <span class="italique">The most common statement is that Euler did give a proof of the case n = 3 of Fermat's Last Theorem but that his proof was “incomplete” in an important respect. </span></span></ref> per un punt crucial. Euler és força confús en aquest indret, però sembla que l'argument que utilitza implícitament sigui erroni, i no en va tornar a parlar més tard.<ref name="Edwards44">{{Harvsp|Edwards|2000|p=44-45}}</ref> Tanmateix la demostració, si bé no és fàcil de corregir, usa mètodes que Euler havia usat per altres proposicions de Fermat.<ref>{{Harvsp|Edwards|2000|p=39-40}}</ref> És igual de possible que Euler tingués el 1753 una demostració correcta, ja que hagués volgut utilitzar posteriorment un argument més elegant, usant els [[Nombre complex|nombres complexes]] descrit a continuació.<ref name="Edwards44">{{Harvsp|Edwards|2000|p=44-45}}</ref><ref name="MacTutorFLT">{{MacTutor|class=~history/HistTopics|id=Fermat's_last_theorem|title=Fermat's last theorem}}</ref>
Per a aquesta demostració, estudia els nombres els cubs dels quals té la forma ''p''<sup>2</sup> + 3''q''<sup>2</sup> amb ''p'' i ''q'' primers entre
[[Carl Friedrich Gauß|Gauss]] va demostrar (en una publicació pòstuma<ref><span class="ouvrage"><span class="indicateur-langue">(<abbr class="abbr" title="Langue : allemand">de</abbr>)</span> <cite lang="de" style="font-style:normal">« Neue Theorie der Zerlegung der Cuben »</cite>, dans C. F. Gauss, <cite class="italique" lang="de">Werke</cite>, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> </span></ref>) per [[Mètode del descens infinit|descens infinit]] com Euler però correctament i de manera més simple i raonant amb [[Enter d'Eisenstein|l'anell ℤ[<span><span class="texhtml">j</span></span><nowiki>]</nowiki>]] dels enters d'Eisenstein ({{Math|j}} designa una [[Arrel de la unitat|arrel cúbica no trivial de la unitat]]). És potser (entre d'altres) aquest succés el que el fa desmentir la [[conjectura]] de Fermat,<ref>{{Ouvrage|lang=en|titre=Number Theory: Algebraic Numbers and Functions|numéro dans collection=24|collection={{Lien|Graduate Studies in Mathematics|texte=GSM}}|auteur={{Lien|lang=de|trad=Helmut Koch (Mathematiker)|Helmut Koch (mathématicien)|texte=Helmut Koch}}|éditeur=[[American Mathematical Society|AMS]]|année=2000|isbn=978-0-82182054-4|passage=78|url=http://books.google.fr/books?id=qEwpwWyVPIAC&pg=PA78}}</ref> que classific entre els nombre enunciats fàcils de proposar però massa generals per ser demostrats o refutats.<ref>{{De}} <span class="citation not_fr_quote" lang="de">« <span class="italique">Ich gestehe zwar, dass das Fermatsche Theorem als isolirter Satz für mich wenig Interesse hat, denn es lassen sich eine Menge solcher Sätze leicht aufstellen die man weder beweisen, noch widerlegen kann.</span> »</span>, <span class="ouvrage"><span class="indicateur-langue">(<abbr class="abbr" title="Langue : allemand">de</abbr>)</span> <cite lang="de" style="font-style:normal">« Gauss an [[Heinrich Olbers|Olbers]], Göttingen, 1816 März 21 »</cite>, dans C. F. Gauss, <cite class="italique" lang="de">Werke</cite>, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> </span></ref>
| |||