Rotació (matemàtiques): diferència entre les revisions

En [[geometria]] i [[àlgebra lineal]], una '''rotació''' és una [[transformació (matemàtiques)|transformació]] alen el pla o aen l'espai que descriu el moviment d'un [[sòlid rígid]] al voltant d'un eix. En una rotació pura els punts de l'eix són fixes,fixos; dit d'una altra manera, la posició dels punts de l'eix queden en el mateix lloc un cop transformats. Una rotació es diferencia d'una [[translació (matemàtiques)|translació]], la qual desplaça tots els punts del sòlid per igual i no manté punts fixos, i d'una [[reflexió (matemàtiques)|reflexió]], que tomben el sòlid creant-ne una imatge especular. Les tres transformacions descrites deixen inalterades les distàncies entre parelles de punts; són [[isometria|isometries]].

[[Fitxer:Rotation4.svg|right|thumb|Una rotació plana al voltant d'un punt, seguida d'una segona rotació al voltant d'un altre punt resulta una transformació total que és o bé una rotació (com la de la figura), o una [[translació (matemàtica)|translació]].]]

[[Fitxer:Simx2=rotOK.png|right|thumb|Una [[reflexió (matemàtica)|reflexió]] contra un eix seguida d'una reflexió contra un segon eix no paral·lel al primer resulta en una transformació total que és una rotació al voltant del punt intersecció entre ambdós eixos.]]

En el segon punt de vista, la rotació del cos s'escriu com la transformcaciótransformació de cada punt <math> (x,y) </math> un angle <math>\theta</math> obtenint unes noves coordenades, <math> (x',y') </math>:

En conseqüència, la magnitud del [[Vector (Matemàtiques)|vector]] (''x'',&nbsp;''y'') és igual que la magnitud del vector (''x''&prime;,&nbsp;''y''&prime;).

Un [[nombre complex]] es pot entendre com un vector de dues dimensions en el pla complex, centrat aen l'origen. Sigui {{nowrap|1= ''z'' = ''a'' + ''ib''}} un nombre complex, La seva [[part real]] ''a'' és representada per la coordenada ''x'' i la seva part imaginària ''b'' és representada per la coordenada ''y''.

Llavors, a ''z'' se li pot aplicar una rotació d'angle <math>\theta</math> multiplicant-lo per <math> e^{i \theta} </math> (seguint la [[fórmula d'Euler]]).:

[[Fitxer:Change of axes.svg|thumb|right|Una rotació descriu el moviment d'un sòlid rígid al voltant d'un eix.]]

Les rotacions al voltant de l'origen es poden calcular fàcilment emprant transformacions [[matriu (matemàtiques)|matricials]] d'una matriu 3x3 anomenada [[matriu de rotació|''matriu de rotació'']]. Les rotacions al voltant de punts lluny de l'origen es poden descriure mitjançant una matriu 4×4 aplicada sobre [[coordenades homogènies]].

Els [[quaternions]] permeten una representació diferent de rotacions i orientacions en tres dimensions. Aquests s'apliquen en gràfics per ordinador, teoria de control, processament de senyal i mecànica celestceleste. Per exemple, és emprat en pel comandament i la telemetria en sistemes de control de vehicles espacials. El fonament és que la combinació de molts quaternions és més estable numèricament que la combinació de moltes matrius de transformació.

El conjunt de totes les [[matrius de rotació]] ''M''('''v''',θ) descrites anteriorment junt amb l'operació de [[multiplicació de matrius]] és anomenat [[grup de rotacions|''grup de rotacions'']].

Les matrius ortogonals contenen elements reals. Les matrius anàlogues de valors complexos són les [[matriu unitària|matrius unitàries]]. El conjunt de totes les matrius unitàries en una dimensió ''n'' forma un [[grup unitari]] de grau ''n'', U(''n''); i el subgrup de U(''n'') que representa rotacions pròpies forma un [[grup unitari especial]] de grau ''n'', SU(''n''). Els elements de SU(2) són emprats en [[mecànica quàntica]] per rotargiravoltar el [[spin]].

En [[relativitat especial]], una rotació de coordenades de Lorentz que rotagira l'eix temporal s'anomena un ''boost'', i l'[[interval (matemàtiques)|interval]] entre dos punts qualssevol es manté [[invariant]], anàlogament a la invariància de la distància entre dos punts en rotacions 3D. Les rotacions de coordenades de Lorentz que no giren l'eix temporal són rotacions espacials tridimensionals. Vegeu: [[Transformaciótransformació de Lorentz]], [[Grupgrup de Lorentz]].

* [[Orientació (geometria)]].

* [[Matriu de rotacions]].

* [[Grup de rotacions]].

* [[Representació de rotacions]].

* [[Rotació impròpia]].

* [[Spin|Spin (física)]].

* [[Angles d'Euler]].

* [[Fórmula de rotacions de Rodrigues]].