Sèrie (matemàtiques): diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
→Propietat associativa: Linealitat+Exemples |
→Exemples: Criteri general de convergència |
||
Línia 37:
</math></blockquote>La utilitat d'aquest resultat és el fet que la classificació de la sèrie <math>\sum_{i=0}^\infty a_i</math> és la mateixa que la sèrie <math>\sum_{i=n}^\infty a_i</math> (Això també es veu clar a partir de la definició que s'ha donat a l'inici sobre la classificació de les sèries) i, en conseqüència, si fem un nombre finit de canvis a la sèrie <math>\sum_{i=0}^\infty a_i</math> això no afecta a la seva classificació ja que, al fer un nombre finit de canvis sempre podrem trobar un número <math>n</math> prou gran perquè tots els canvis que s'hagin fet estiguin dins la suma finita <math>\sum_{i=0}^{n-1} a_i</math>.
{{Caixa desplegable|títol=Demostració|contingut=El que hem dit és resumeix com:
#<math>\sum_{i=0}^\infty a_i</math> és convergent <math>\Longleftrightarrow \sum_{i=n}^\infty a_i</math> és convergent.
#<math>\sum_{i=0}^\infty a_i</math> és divergent<math>\Longleftrightarrow \sum_{i=n}^\infty a_i</math> és divergent.
#<math>\sum_{i=0}^\infty a_i</math> és no sumable<math>\Longleftrightarrow \sum_{i=n}^\infty a_i</math> és no sumable.
Demostrem els tres enunciats:
1.1 <math>\sum_{i=0}^\infty a_i</math> és convergent <math>\Longrightarrow \sum_{i=n}^\infty a_i</math> és convergent.
: Suposem que <math>\sum_{i=0}^\infty a_i</math> és convergent, això vol dir que <math>\lim_{k\to\infty}\sum_{i=0}^k a_i=L\in E</math> i, per tant, <math>\sum_{i=n}^\infty a_i=\sum_{i=0}^\infty a_i-\sum_{i=0}^{n-1} a_i=L-\sum_{i=0}^{n-1} a_i\in E</math> ja que la suma d'un nombre finit de termes no pot ser infinita.
1.2 <math>\sum_{i=0}^\infty a_i</math> és convergent <math>\Longleftarrow \sum_{i=n}^\infty a_i</math> és convergent.
: Suposem que <math>\sum_{i=n}^\infty a_i</math> és convergent, això vol dir que <math>\lim_{k\to\infty}\sum_{i=n}^k a_i=L\in E</math> i, per tant, <math>\sum_{i=0}^\infty a_i=\sum_{i=0}^{n-1} a_i+\sum_{i=n}^\infty a_i=\sum_{i=0}^{n-1} a_i+L\in E</math> ja que la suma d'un nombre finit de termes no pot ser infinita.
2.1 <math>\sum_{i=0}^\infty a_i</math> és divergent<math>\Longrightarrow \sum_{i=n}^\infty a_i</math> és divergent.
: Suposem que <math>\sum_{i=0}^\infty a_i</math> és divergent, això vol dir que <math>\lim_{k\to\infty}\sum_{i=0}^k a_i=\pm\infty</math> i, per tant, <math>\sum_{i=n}^\infty a_i=\sum_{i=0}^\infty a_i-\sum_{i=0}^{n-1} a_i=\pm\infty-\sum_{i=0}^{n-1} a_i=\pm\infty</math> ja que la suma d'un nombre finit de termes és un nombre finit.
2.2 <math>\sum_{i=0}^\infty a_i</math> és divergent<math>\Longleftarrow \sum_{i=n}^\infty a_i</math> és divergent.
: Suposem que <math>\sum_{i=n}^\infty a_i</math> és divergent, això vol dir que <math>\lim_{k\to\infty}\sum_{i=n}^k a_i= \pm \infty</math> i, per tant, <math>\sum_{i=0}^\infty a_i=\sum_{i=0}^{n-1} a_i+\sum_{i=n}^\infty a_i=\sum_{i=0}^{n-1} a_i \pm \infty=\pm\infty</math> ja que la suma d'un nombre finit de termes és un nombre finit.
3.1 <math>\sum_{i=0}^\infty a_i</math> és no sumable<math>\Longrightarrow \sum_{i=n}^\infty a_i</math> és no sumable.
: Suposem que <math>\sum_{i=0}^\infty a_i</math> és no sumable, això vol dir que <math>\nexists \lim_{k\to\infty}\sum_{i=0}^k a_i</math> i, per tant, <math>\nexists\sum_{i=n}^\infty a_i</math> ja que <math>\sum_{i=n}^\infty a_i=\sum_{i=0}^\infty a_i-\sum_{i=0}^{n-1} a_i</math>.
3.2 <math>\sum_{i=0}^\infty a_i</math> és no
sumable<math>\Longleftarrow \sum_{i=n}^\infty a_i</math> és no sumable.
: Suposem que <math>\sum_{i=n}^\infty a_i</math> és no sumable, això vol dir que <math>\nexists \lim_{k\to\infty}\sum_{i=n}^k a_i</math> i, per tant, <math>\nexists\sum_{i=0}^\infty a_i</math> ja que <math>\sum_{i=0}^\infty a_i=\sum_{i=0}^{n-1} a_i+\sum_{i=n}^\infty a_i</math>.}}
== Propietats de les sèries ==
Linha 60 ⟶ 84:
Si tenim dues sèries convergents <math>\sum_{i=0}^\infty a_i</math> i <math>\sum_{i=0}^\infty b_i</math> aleshores es compleix que<blockquote><math>\sum_{i=0}^\infty (\lambda a_i+\mu b_i)=\lambda \sum_{i=0}^\infty a_i+ \mu \sum_{i=0}^\infty b_i</math>4</blockquote>En efecte és conseqüència de la linealitat de la suma i la linealitat del límit, ja que:<blockquote><math>\sum_{i=0}^\infty (\lambda a_i+\mu b_i)\equiv \lim_{k\to\infty}\sum_{i=0}^k(\lambda a_i+\mu b_i)=\lambda\lim_{k\to\infty}\sum_{i=0}^ka_i+\mu \lim_{k\to\infty}\sum_{i=0}^kb_i
\equiv\lambda \sum_{i=0}^\infty a_i+ \mu \sum_{i=0}^\infty b_i</math></blockquote>
== Sèries numèriques de nombres reals ==
Es diu que una sèrie <math>\sum_{i=0}^\infty a_i</math> és una sèrie numèrica quan el elements de la successió <math>\{ a_i \}</math> són [[Nombre|números]]. En concret, quan són [[Nombre real|números reals]] parlem de sèries numèriques de nombres reals. Aquestes sèries tenen certes propietats que altres sèries no tenen. Vegem alguns exemples
=== Criteri general de convergència d'una sèrie (numèrica de nombres reals) ===
Hem vist que, per definició, una sèrie <math>\sum_{i=0}^\infty a_i</math> és convergent si i només si el límit <math>\lim \{S_k \}</math> essent <math>S_k=\sum_{i=0}^k a_i</math> les sumes parcials, convergeix a un nombre real. Però una successió de nombres reals és [[Successió convergent|convergent]] si i només si és de [[Successió de Cauchy|Cauchy]]. Per tant, podem afirmar que<blockquote><math>\sum_{i=0}^\infty a_i</math> és convergent <math>\Longleftrightarrow \{S_k \}\rightarrow l\in\R
\Longleftrightarrow \{S_k \}</math> és de Cauchy.</blockquote>Però una successió de Cauchy compleix (per definició) que<math>\forall \varepsilon>0, \exists n_0 \in \N \ | \ |S_m-S_n|<\varepsilon, \forall n,m>n_0 </math>.
Suposem ara que <math>m>n</math>, aleshores <math>S_m=\sum_{i=0}^m a_i=\sum_{i=0}^n a_i + a_{n+1}+a_{n+2}+...a_{m}=S_n + a_{n+1}+a_{n+2}+...a_{m}
\Longrightarrow S_m-S_n=a_{n+1}+a_{n+2}+...a_{m}</math>
Si definim <math>p=m-n \, (>0)</math>, aleshores <math>S_m-S_n=a_{n+1}+a_{n+2}+...a_{n+p}</math>
Per tant, <math>\forall \varepsilon>0, \exists n_0 \in \N \ | \ |a_{n+1}+a_{n+2}+...a_{n+p}|<\varepsilon </math>. Com que aquest expressió s'ha de complir <math>\forall n,m>n_0</math>, el valor de <math>p</math> pot ser qualsevol nombre natural i l'expressió que acabem de trobar s'ha de complir <math>\forall n>n_0, \forall p</math>. El criteri general de convergència d'una sèrie és precisament:
<center><math>\sum_{i=0}^\infty a_i</math> és convergent <math>\Longleftrightarrow \forall \varepsilon>0, \exists n_0 \in \N \ | \ |a_{n+1}+a_{n+2}+...a_{n+p}|<\varepsilon, \forall n>n_0, \forall p </math></center>
Com a conseqüència, podem afirmar que: <math>\sum_{i=0}^\infty a_i</math> és convergent <math>\Longrightarrow \{a_i \} \rightarrow 0 </math>. El recíproc però, no és cert, la sèrie harmònica n'és un exemple.
{{Caixa desplegable|títol=Demostració|contingut=En efecte, si la sèrie <math>\sum_{i=0}^\infty a_i</math> és convergent, pel criteri que acabem d'anunciar <math>\forall \varepsilon>0, \exists n_0 \in \N \ | \ |a_{n+1}+a_{n+2}+...a_{n+p}|<\varepsilon, \forall n>n_0, \forall p </math>.</br>
En concret, per <math>p=1</math> tenim que <math>\forall \varepsilon>0, \exists n_0 \in \N \ | \ |a_{n+1}-0|<\varepsilon, \forall n>n_0 </math>
Comparant-ho amb la definició de successió convergent: <math>\{ a_n \}</math> convergeix cap a <math>a</math> si i només si <math>\forall \varepsilon>0, \exists n_0 \in \N \ | \ |a_{n}-a|<\varepsilon, \forall n>n_0 </math>
És clar que la successió <math>\{a_n \}</math> convergeix cap a <math>0</math>.}}
== Exemples ==
| |||