Transformada de Laplace: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m bot: - podem cambiar per k sense afectar al resultat, + podem canviar per k sense afectar el resultat, |
m Millora |
||
Línia 1:
La '''transformada de Laplace''' d'una [[funció matemàtica|funció]] ''f''(''t'') definida (en [[matemàtiques]] i, en particular, en [[anàlisi funcional]]) per a tot [[nombre real]] t, i el transforma en una [[Nombre complex|variable complexa]] s (freqüència). La transformada de Laplace és similar a la transformada de Fourier. Mentre que la transformada de Fourier és una funció complexa de una variable real, la transformada de Laplace és una funció complexa de una variable complexa. <ref>{{Ref-web|url=http://mathworld.wolfram.com/LaplaceTransform.html|títol=Laplace Transform|consulta=2017-03-02|nom=Weisstein, Eric|cognom=W.|llengua=Anglès|editor=mathworld.wolfram.com|data=}}</ref>
Aquesta transformada integral té una sèrie de propietats que la fan útil en l'anàlisi de sistemes lineals. Un dels avantatges més significatius radica en què la integració i derivació es converteixen en multiplicació i divisió. Això transforma les equacions diferencials i integrables en equacions polinòmiques, molt més fàcils de resoldre.<ref>{{Ref-web|url=https://www.khanacademy.org/math/differential-equations/laplace-transform|títol=Laplace transform {{!}} Differential equations {{!}} Math {{!}} Khan Academy|consulta=2017-03-02|llengua=Anglès|editor=www.khanacademy.org|data=}}</ref> ▼
: <math>F(s)▼
= \mathcal{L} \left\{f(t)\right\}▼
=\int_{0}^\infty e^{-st} f(t)\,dt.</math>▼
sempre que la integral estigui definida.▼
▲Aquesta transformada integral té una sèrie de propietats que la fan útil en l'anàlisi de sistemes lineals. Un dels avantatges més significatius radica en què la integració i derivació es converteixen en multiplicació i divisió. Això transforma les equacions diferencials i integrables en equacions polinòmiques, molt més fàcils de resoldre.
Una altra aplicació important en els sistemes lineals és el càlcul del senyal de sortida. Aquesta es pot calcular mitjançant la [[convolució]] de la resposta impulsiva del sistema amb el senyal d'entrada. La realització d'aquest càlcul a l'espai de Laplace converteix la convolució en una multiplicació, habitualment més senzilla.
Linha 16 ⟶ 7:
La transformada de Laplace pren el seu nom en honor de [[Pierre-Simon Laplace]].
La transformada de Laplace és al temps continu el que la transformada de Z és al discret.<ref>{{Ref-web|url=http://www.intmath.com/laplace-transformation/2-definition.php|títol=2. Definition of the Laplace Transform|consulta=2017-03-02|nom=Murray|cognom=Bourne|llengua=Anglès|editor=www.intmath.com|data=}}</ref>
:
La transformada de Laplace ''F''(''s'') típicament existeix per a tots els nombres reals ''s'' > ''a'', on ''a'' és una constant que depèn del comportament de creixement de ''f''(''t'').▼
Degut a la injectivitat de les transformades de Laplace <math>f(t)\neq g(t) \Longrightarrow \mathcal{L}\{f(t)\} \neq \mathcal{L}\{g(t)\}</math> és possible definir la transformada de Laplace inversa:▼
<math>\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}=f(t)</math>▼
On <math>F(s)\equiv \mathcal{L}\{f(t)\}</math>▼
== Perspectiva històrica ==
La transformada de Laplace rep el seu nom en honor del matemàtic francès [[Pierre-Simon Laplace]], que la va presentar dins de la seva teoria de la probabilitat. El 1744, [[Leonhard Euler]] va investigar un conjunt d'integrals de la forma:
:<math> z = \int X(x) e^{ax}\, dx
- Com a solucions d'equacions diferencials, però no va aprofundir en elles i aviat va abandonar la seva recerca. [[Joseph Louis Lagrange]], admirador d'Euler, també va investigar aquest tipus d'integrals, i les va lligar a la teoria de la probabilitat en un treball sobre funcions de densitat de probabilitat de la forma:
Linha 46 ⟶ 25:
:<math > \int x^s \phi (s)\, dx,</math>
== Definicío formal ==
per a tots els [[nombre real|nombres reals]] ''t'' ≥ 0, és la funció ''F''(''s''), definida per:
▲: <math>F(s)
▲ = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\}
▲ =\int_{0}^\infty e^{-st} f(t)\,dt.</math>
▲sempre que la integral estigui definida.
▲La transformada de Laplace ''F''(''s'') típicament existeix per a tots els nombres reals ''s'' > ''a'', on ''a'' és una constant que depèn del comportament de creixement de ''f''(''t'').
▲Degut a la injectivitat de les transformades de Laplace <math>f(t)\neq g(t) \Longrightarrow \mathcal{L}\{f(t)\} \neq \mathcal{L}\{g(t)\}</math> és possible definir la transformada de Laplace inversa:
▲<math>\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}=f(t)</math>
▲On <math>F(s)\equiv \mathcal{L}\{f(t)\}</math>
== Propietats ==
Linha 242 ⟶ 237:
== Vegeu també ==
* [[Transformada de Mellin]]
* Transformada de Fourier
== Referències ==
{{Autoritat}}
[[Categoria:Càlcul]]
| |||