Espai mètric: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
Cap resum de modificació |
Robot estandarditza i catalanitza referències, catalanitza dates i fa altres canvis menors |
||
Línia 45:
==== Demostracions de les propietats ====
# Qualsevol bola oberta conté el seu centre <math>p</math>.
# Sigui <math>\delta = d(x,y)</math> i prenem <math>s = r - \delta</math>. Si <math>z \in B_s(q)</math>, es dedueix de la desigualtat triangular que <math>d(p,z) \le d(p,q) + d(q,z) < \delta + s = r </math>
# Per la propietat (2), existeixen <math>t', t'' \ \mid \ \Bigl(B_{t'}(z) \sube B_r(p) \Bigr) \and \Bigl(B_{t''}(z) \sube B_s(q)\Bigr) </math>. És suficient prendre <math>t = \min(t', t'')</math>.
Línia 55:
==== Propietats dels oberts ====
# <math>\empty
# En una família d'oberts <math>\{U_i\}_{i\in I}</math>, <math>\bigcup_{i\in I} U_i</math> és un obert.
# En una família finita d'oberts <math>\{U_i\}_{i\in I}</math>, <math>\bigcap_{i\in I} U_i</math> és un obert.
Línia 71:
Sigui <math>f: (X,d_X) \longrightarrow (Y, d_Y) </math>una aplicació entre espais mètrics. Diem que <math>f</math> '''és [[Funció contínua|contínua]] en <math>p \in X</math>''' si,
<math>\forall \epsilon \in \reals^+ \ \exists \delta \in \reals ^+ \mid f \big( B_\delta(p)\big) \sube B_\epsilon \big( f(p) \big)</math>
És a dir, si per tota bola oberta en <math>Y</math> centrada en <math>f(p)</math>, existeix una bola oberta en <math>X</math> centrada en <math>p</math> i la segona està continguda en la primera.
| |||