Identitat de Parseval: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m Corregit: - dir, la [[extensió + dir, l'[[extensió |
m Robot treu caràcters de control Unicode |
||
Línia 18:
0&\mbox{si}\ m \not= n.\end{cases}</math>
Llavors la identitat de Parseval afirma que per a cada ''x''
:<math>\sum_n |\langle x, e_n\rangle|^2 = \|x\|^2.</math>
Això és directament anàleg al teorema de Pitàgores, que afirma que la suma dels quadrats dels components d'un vector en una base ortonormal és igual a la longitud al quadrat del vector. Es pot recobrar la versió de sèrie de Fourier de la identitat de Parseval deixant que ''H'' sigui l'espai de Hilbert ''L''<sup>2</sup>[−π,π;], i establint ''e''<sub>''n''</sub>
De forma més general, la identitat de Parseval es compleix en qualsevol [[espai amb producte interior]], no només en espais de Hilbert separables. Així suposant que ''H'' és un espai amb producte interior. Sia ''B'' una [[base ortonormal]] de ''H''; és a dir, un conjunt ortonormal que és ''total'' en el sentit que l'extenssió lineal de ''B'' és dens en ''H''. Llavors
| |||