Funció φ d'Euler: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m →Generadors de l'anell (\mathbb{Z}_n,+,*): correcció |
m neteja i estandardització de codi |
||
Línia 127:
== Teorema de Euler-Fermat ==
Tal com ja s'ha apuntat anteriorment, la funció d'Euler té diverses aplicacions, entre les quals destaca el conegut com a Teorema d'Euler-Fermat, també conegut com a ''petit teorema de Fermat'' o ''Conjectura Xinesa''. Aquesta afirma que:
Linha 135 ⟶ 134:
=== Generadors de l'anell <math>(\mathbb{Z}_n,+,*)</math> ===
Es coneixen com a generadors d'un conjunt aquell element del mateix que és capaç d'expressar qualsevol altre mitjançant el següent morfisme:▼
▲Es coneixen com a generadors d'un conjunt aquell element del mateix que és capaç d'expressar qualsevol altre mitjançant el següent morfisme:
<math>a^r=b, \forall a,b \in (\mathbb{Z}_n,+,*), \forall r \in \mathbb{N}</math>
Linha 153 ⟶ 151:
=== Teorema d'Euler-Fermat ===
Sigui un element invertible, el conjunt d'elements que generarà serà òbviament finit (ja que es tracta amb conjunts finits) i de cardinalitat igual o inferior a la del conjunt total d'elements invertibles de l'anell <math>(\mathbb{Z}_n,+,*)</math>; fóra interessant però saber quina serà la mida del conjunt generat. Supòsis que existeix un element tal que pot generar la totalitat d'elements invertibles, tal com ja s'ha dit un element serà invertible si i només si és coprimer amb l'índex de la congruència, així doncs tal com s'ha apuntat amb anterioritat la mida del conjunt generat serà precisament <math>\phi(n)</math>, dit d'una altra manera:
| |||