Anàlisis de circuits de corrent altern: diferència entre les revisions

* Condensador: <math> Z= -{1 \over \omega C}*j \; </math> <math>\Zeta =-{1\over\omega\C}j</math> És a dir, no té part real. ω és la pulsació del circuit (<math> \quad \omega = 2 \pi f \,\!</math>) amb f la freqüència de la intensitat que circula pel circuit i C la [[Capacitància|capacitat]] del [[condensador]].

El circuit està alimentat amb una tensió sinusoidal i s'ha esperat suficientment perquè tots els fenòmens transitoris hagin desaparegut. Es té un règim permanent. Com que el sistema és lineal, el corrent del règim permanent serà també sinusoidal i tindrà la mateixa freqüència que la de la font original. L'única cosa que no se sap sobre el corrent és la seva amplitud i el desfasament que pot tenir pel que fa a la tensió d'alimentació. Així, si la tensió d'alimentació és <math> { V= V_o cos(\omega t) }</math> el corrent serà de la forma <math>{ I=I_\circ\cos(\omega t+\varphi) };</math> a on φ és el desfasament que no coneixem. L'equació a resoldre serà:

a on <math>\scriptstyle{V_R}</math> <math>\scriptstyle{V_L}</math> i <math>\scriptstyle{V_C}:</math> són les tensions entre les extremitats de la resistència, la inductància i el condensador.

:: <math>V_R\,</math> es igual a <math>RI_\circ\cos(\omega t+\varphi)</math>

<math>{ V_z=RxI_zZI_z }</math>

<math>\vec{V} = \vec{V}_R + \vec{V}_L = V _\ \underline{/ \alpha + \phi} </math><math>{ \vec{V} = \vec{V}_R + \vec{V}_L = V _\ \underline{/ \alpha + \phi} } </math>

L'expressió <math>\sqrt{R^2 + {X_L}^2}</math><math>\sqrt {R^2 + {X_L}^2} </math> <math>\sqrt {R^2 + {X_L}^2} </math>representa l'oposició que ofereix el circuit al pas del corrent altern, a la qual es denomina [[impedància]] i es representa Z:

<math>V= \sqrt {{V_R}^2 + {V_C}^2} = \sqrt {({IR})^2 + ({I{X_C}})^2} = </math><math> { V= \sqrt {{V_R}^2 + {V_C}^2} = \sqrt {({IR})^2 + ({I{X_C}})^2} = } </math>

De la mateixa manera l'expressió <math>\sqrt {R^2 + {X_C}^2} </math><math>\sqrt {R^2 + {X_C}^2}</math> és el mòdul de la impedància, ja que

Al<math>X_L > X_C \,</math> diagrama s'ha suposat que el circuit era inductiu

<math> \vec{Z}_{AB} = \frac{\vec{V}}{\vec{I}} </math><math> \vec{Z}_{AB} = \frac{\vec{V}}{\vec{I}} </math>

a on <math> \vec{Z}_{AB} </math><math>\vec{Z}_{AB} </math> és la impedància equi<math>\vec{V}</math>valentequivalent de l'associació (figura 13c), això és, aquella que connectada la mateixa tensió lnterna, <math> \vec{V} </math><math>\vec {V}</math>, demanda la mateixa intensitat,<math>\vec {I}</math> <math> \vec{I} </math>. De la mateixa manera que per a una [[Resistència elèctrica (propietat)|associació sèrie de resistències]], es pot demostrar que

<math> \vec{Z}_{AB} = \vec{Z}_1 + \vec{Z}_2 +...+ \vec{Z}_n = \sum_{k=1}^n \vec{Z}_k = R_T + X_Tj </math><math> \vec{Z}_{AB} = \vec{Z}_1 + \vec{Z}_2 +...+ \vec{Z}_n = \sum_{k=1}^n \vec{Z}_k = R_T + X_Tj </math>

<math>\vec{Z}_{AB} = \frac{\vec{V}}{\vec{I}}</math><math> \vec{Z}_{AB} = \frac{\vec{V}}{\vec{I}} </math>

i de la mateixa manera que per a una [[Resistència elèctrica (propietat)|associació paral·lel de resistències]], es pot demostrar que<math>\vec{Z}_{AB} = \frac{1}{\displaystyle\sum_{k=1}^n {\frac{1}{\vec{Z}_k}}}</math>

<math>\vec{Z}_{AB} = \frac{1}{\displaystyle\sum_{k=1}^n {\frac{1}{\vec{Z}_k}}}</math><math> \vec{Z}_{AB} = \frac{1}{\displaystyle\sum_{k=1}^n {\frac{1}{\vec{Z}_k}}} </math>

En el diagrama de la dreta tenim un generador sinusoidal <math>V=10\cos(\omega t)</math><math> V=10\cos(\omega t) </math> de 10 volts d'amplitud i d'una freqüència de 10 kHz.<math>\scriptstyle{V=10\cos(\omega t)} </math> En sèrie hi ha una inductància de 10 mH i una resistència de 1,2KΩ.

<math>{ {={10\over 1200 + j628,3}}=0{,}00654-j0{,}003424 A }</math><math> = {10\over 1200 + j628,3}=0{,}00654-j0{,}003424\,\, A </math>

<math>{ I =\left|\textstyle{{10\over 1200 + j628,3}}\right|=7,38mA } </math><math> I =\left|\textstyle{{10\over 1200 + j628,3}}\right|=7,38\,mA </math>

La tensió entre els extr<math>\scriptstyle{V_R=I\,R=(0{,}00654-j0{,}003424)\,1200=7{,}84-j4{,}109 \,\,V_\mathrm{pico}} </math>emsextrems de la resistència és <math> { \scriptstyle{V_R=I\,R=(0{,}00654-j0{,}003424)\,1200=7{,}84-j4{,}109 \,\,V_\mathrm{pic}} } </math>

La tensi<math>\scriptstyle{6{,}26\, V_\mathrm{ef}} </math>ótensió eficaç que es llegiria amb un voltímetre seria el mòdul d'aquesta tensió dividit per <math> { \scriptstyle{\sqrt{2}} } </math> ≈ <math> { \scriptstyle{6{,}26\, V_\mathrm{ef}} } </math>

La tens<math>tensió \scriptstyle{3,28\, V_\mathrm{ef} } </math>ió e<math> \scriptstyle{3,28\, V_\mathrm{ef} } </math>ficaçeficaç llegida amb un v<math> \scriptstyle{3,28\, V_\mathrm{ef} } </math>oltímetrevoltímetre seria, igualment: <math> { 3,28\, V_\mathrm{ef} } </math>

Es constata que la suma de les dues tensions "complexes" dóna (tenint en compte els arrodoniments) la tensió del generador. En canvi<math> \scriptstyle{7,07 V_\mathrm{ef}} </math>, la suma de les dues tensions llegides amb un voltímetre és més gran que la del generador <math> (7,07 V_\mathrm{ef}) </math>.<math> \scriptstyle{7,07 V_\mathrm{ef}} </math> Aquest resultat és típic de les mesures fetes amb un voltímetre en circuits en els quals les tensions no estan en fase. Un voltímetre mesura mòduls en valor eficaç, que no es poden sumar directament ja que s'està tractant amb vectors i amb les seves diferents orientacions.

Al circuit de la dreta, un condensador d' <math> {1\,\mu F } </math> i una resistència de <math> { 3\,k\Omega } </math> en sèrie, estan connectats entre dos generadors sinusoïdals. Es prenen com a generadors dues fases del subministrament [[Sistema trifàsic|trifàsic.]] El generador de l'esquerra serà el nostre generador de referència <math>{ \scriptstyle{V_1=230\sqrt{2}\cos(314\,t)} } </math>.<math>\scriptstyle{V_1=230\sqrt{2}\cos(314\,t)} </math> El generador de la dreta està en avanç de fase de <math> { 2\pi/3 } </math>. Es a dir <math>\scriptstyle{V_2=230\sqrt{2}\cos(314\,t + {2\pi\over 3})} </math> <math> V_2=230\sqrt{2}\cos(314\,t + {2\pi\over 3}) </math>. Amb el formalisme d'i<math>\scriptstyle{V_2=230\,e^{j{2\pi\over 3}}\,V_\mathrm{ef}} </math>mpedànc<math>\scriptstyle{V_2=230\,e^{j{2\pi\over 3}}\,V_\mathrm{ef}} </math>esimpedàncies, el generador de l'esquerra serà <math> { V_1=230\,V_\mathrm{ef} } </math> i el de la dreta <math> { V_2=230\,e^{j{2\pi\over 3}}\,V_\mathrm{ef} } </math>

<math> { V_{12}=230\,\left(1- e^{j{2\pi\over 3}}\right)=230\,\left(1-\cos\left(\textstyle{{2\pi\over 3}}\right)-j\sin\left(\textstyle{{2\pi\over 3}}\right)\right) }</math>{{Equació|<math> V_A= V_1-V_C=230 -289{,}83\, e^{-j1{,}2791}= 230 - (83,35-j277{,}6) </math>}}<math>{ =146.65+j277{,}6 = 314\,e^{j1{,}085} \,V_\mathrm{ef} }</math>

<nowikibr />