Element invers: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m neteja i estandardització de codi |
m neteja i estandardització de codi |
||
Línia 1:
En [[matemàtiques]], l''''invers''' (també anomenat '''simètric''') d'un element ''x'' dins d'un conjunt proveït d'una [[llei de composició]] interna amb element neutre (''A'', ''*''), és un element ''y'' de ''A'' tal que {{nowrap|1=''x'' * ''y'' = ''y'' * ''x'' = ''e''}}, on ''e'' és l'[[element neutre]] de l'operació ''*'' en ''A''. Diem aleshores que ''x'' és un [[element invertible]]. Quan l'operació és la [[suma]] se sol parlar d'element '''[[Oposat (matemàtiques)|oposat]]''' en lloc d'invers, i el representem per −''x''. Quan l'operació és el [[Producte (matemàtiques)|producte]] se sol parlar de '''recíproc''' i es representa per <math>x^{-1}</math> o <math>\scriptstyle {\frac{1}{x}}</math>.
Per exemple, el recíproc (invers multiplicatiu) de 2 en el conjunt dels [[nombres racionals]] és 1/2 o 0,5 mentre que l'oposat (invers additiu) és −2. El recíproc i l'oposat de la [[unitat imaginària]] ''i'' és −''i'', ja que {{nowrap|1=''i''·(−''i'') = 1}}; {{nowrap|1=''i'' − ''i'' = 0}}.
== Invers en un grupoide unitari ==
Quan l'operació no és commutativa cal distingir entre element invers per l'esquerra i invers per la dreta. Sigui ''x'' un element del [[grupoide]] unitari <math>(A,*)</math>, i ''e'' l'element neutre de l'operació <math>*</math> a ''A''.
* Si existeix un element <math>\overrightarrow{x}:A</math> tal que <math>\overrightarrow{x} * x = e</math>, direm que ''x'' és '''invertible per l'esquerra''' i que <math>\overrightarrow{x}</math> és l''''invers per l'esquerra''' de ''x''. Un element invertible per l'esquerra és [[element simplificable|simplificable]] per l'esquerra.
* Si existeix un element <math>\overleftarrow{x}:A</math>tal que <math>x * \overleftarrow{x} = e</math>, direm que ''x'' és '''invertible per la dreta''' i que <math>\overleftarrow{x}</math> és l''''invers per la dreta''' de ''x''. Un element invertible per la dreta és [[element simplificable|simplificable]] per la dreta.
* Si un element és invetible per l'esquerra i per la dreta, i els seus inversos són iguals, diem que és '''invertible bilateral''' o simplement '''invertible''': <math>x * \bar{x} = \bar{x} * x = e</math>. En aquest cas el parell <math>x</math> i <math>\bar{x}</math> commuten. Un element invertible és [[element simplificable|simplificable]].
Un element ''x'' pot tenir més d'un invers per l'esquerra i/o per la dreta. Noteu que, en general, si existeixen inversos per l'esquerra i per la dreta, aquests no tenen per què ser iguals: <math>\overrightarrow{x} \neq \overleftarrow{x} </math>. Però, si la llei de composició és associativa, aleshores l'invers per la dreta és igual a l'invers per l'esquerra, i a més a més, únic.
== Invers en un semigrup ==
El concepte d'invers és generalitzable a estructures sense element neutre, sempre que mantinguem l'associativitat. Primer, definim el concepte de regularitat. Segons von Neumann, un element ''x'' d'un [[semigrup]] <math>(S,*)</math> és regular si existeix un altre element ''y'' en ''S'' tal que <math>x*y*x = x</math>. Direm aleshores que ''y'' és un '''pseudoinvers''' de ''x''. Direm, en canvi, que ''y'' és un '''invers''' de ''x'' si <math>x*y*x = x</math> i a més <math>y = y*x*y</math>. Noteu que, si existeix, l'invers no és necessàriament únic.
* Tot element regular té almenys un invers. Si <math>x = x*z*x</math> aleshores <math>y = z*x*z</math> és un invers de ''x'' en el sentit a dalt definit.
* Si ''y'' és un invers de ''x'', aleshores <math>e=x*y</math> i <math>f=y*x</math> són [[idempotència|elements idempotents]]: <math>e*e=e</math>, <math>f*f=f</math>. Per tant, tota parella d'elements mútuament inversos genera una parella d'elements idempotents, i <math>e*x=x*f=x</math>, <math>y*e=f*y=y</math>, és a dir, ''e'' actua com a [[element neutre|identitat]] per l'esquerra per a ''x'', mentre que ''f'' actua com a identitat per la dreta, amb els papers intercanviats en el cas de ''y''. Tota parella d'inversos mutus, genera doncs, un element neutre local per l'esquerra i un element neutre local per la dreta.
== Vegeu també ==
| |||