Equació diferencial lineal: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m neteja i estandardització de codi |
m neteja i estandardització de codi |
||
Línia 17:
A_{n-1}(t)\frac{dy}{dt} + A_n(t)y \,</math>
La condició de linealitat de ''L'' exclou operacions com el quadrat de la [[derivada]] de ''y''; però admet, per exemple, la [[derivada segona]] de ''y''.
És convenient reescriure aquesta equació en forma d'operador
: <math> L_n(y) \equiv \left[\,D^n + A_{1}(t)D^{n-1} + \cdots + A_{n-1}(t) D + A_n(t)\right] y</math>
on ''D'' és l'operador diferencial ''d/dt'' (és a dir ''Dy = y'', ''D'' <sup>2</sup>''y = y"... ''), i ''A<sub>n</sub>'' són funcions donades.
<!-- i el terme independent es considera que és una funció del temps ƒ(''t'') .-->
Línia 48:
:<math>F(z) = z^{n} + A_{1}z^{n-1} + \cdots + A_n = 0.\,</math>
Aquesta equació algebraica ''F'' (''z'') = 0, és l{{'}}'''equació característica''' estudiada més tard per[[Gaspard_Monge|monge]] i [[Augustin Louis Cauchy|Cauchy]].
Formalment, els termes
Línia 75:
Si els coeficients ''A<sub>i</sub>'' de l'equació diferencial són reals, llavors en general les solucions reals són preferibles. Com que les arrels no reals ''z'' venir en parelles de complexos [[conjugat]]s, també les seves funcions base corresponents {{nowrap|''x''<sup>''k''</sup>e<sup>''zx''</sup>}}, i el resultat desitjat s'obté canviant cada parell per la [[combinació lineal]] dels valors reals de la seva [[part real]] la seva [[part imaginaria]].
Un cas que impliqui arrels complexes es pot resoldre amb l'ajut de [[Fórmula d'Euler|La fórmula d'euler]].
=== Exemples ===
| |||