Nombre cardinal: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m neteja i estandardització de codi |
m neteja i estandardització de codi |
||
Línia 1:
En [[matemàtiques]], els '''nombres cardinals''', o senzillament '''cardinals''', són els nombres usats per a expressar la quantitat d'elements d'un [[conjunt]].
En el cas dels conjunts finits els nombres cardinal són els [[Nombre natural|nombres naturals]]: 0, 1, 2, 3, 4, ... En llengua es distingeix els cardinals dels [[Nombre ordinal|ordinals]] que s'utilitzen per indicar l'ordre: primer, segon, tercer ...
[[Fitxer:Aleph0.svg|miniatura|[[Àlef zero]], el menor cardinal transfinit]]
A partir de la [[teoria de conjunts]] establerta per [[Georg Cantor]], les [[matemàtiques]], generalitzen els nombres naturals incorporant els cardinals transfinits per expressar les diferents mides dels conjunts amb [[Infinit|infinits]] elements.
La '''cardinalitat''' mesura el nombre d'elements d'un conjunt ''X'' i es denota amb alguna de les notacions següents: card(''X''), #''X'' o bé |''X''|. Per exemple, si A és un conjunt amb 5 elements, escriurem card(A)=5, #''A=5'' o bé |''A''|=5. Pels denotar cardinals transfinits s'utilitza la lletra [[àlef]] <math>\aleph</math> [[Fitxer:Bijection.svg|miniatura|Una funció bijectiva ''f'': ''X'' → ''Y'', del conjunt ''X'' al conjunt ''Y '' que demostra que els dos conjunts tenen la mateixa cardinalitat, en aquest cas 4]]
La seqüència dels nombres cardinals és: <math>0, 1, 2, 3, \ldots, n, \ldots ; \aleph_0, \aleph_1, \aleph_2, \ldots, \aleph_{\alpha}, \ldots.\ </math>
Per comparar les mides dels conjunts s'utilitza el concepte de [[funció bijectiva]]. Es considera que dos conjunts tenen la mateixa cardinalitat si existeix una correspondència 1 a 1 entre els elements dels dos conjunts, llavors es diu que són [[Equipotent|equipotents]]. Utilitzant aquesta noció [[Georg Cantor]] va establir la moderna [[teoria de conjunts]] i en particular el seu teorema fonamental que demostra que el conjunt dels [[nombres reals]] <math>\mathbb R </math> és "més gran" que el conjunt dels [[nombres naturals]] <math>\mathbb N </math>, tot i ser infinits ambdós.
<math>card(\mathbb N )=\aleph_0 < card(\mathbb R )=\aleph_1</math>
Amb aquest concepte de cardinalitat pot succeir que un [[subconjunt propi]] d'un conjunt infinit tingui la mateixa cardinalitat que el conjunt original cosa que no pot passar amb els subconjunts propis de conjunts finits. Per exemple: dins el conjunt dels nombres naturals <math>\mathbb N </math>(sense el zero) , podem considerar el subconjunt dels nombres parells <math>\{2,4,6,...\}</math>, com que podem establir una correspondència 1 a 1 entre cada natural i el seu doble, els dos conjunts tenen la mateixa cardinalitat <math>\aleph_0</math>
== Enllaços externs ==
* We<span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.atitle=Cardinal+number&rft.btitle=Encyclopedia+of+Mathematics&rft.pub=Springer+Science%2BBusiness+Media+B.V.+%2F+Kluwer+Academic+Publishers&rft.date=2001&rft.isbn=978-1-55608-010-4&rft_id=https%3A%2F%2Fwww.encyclopediaofmath.org%2Findex.php%3Ftitle%3Dp%2Fc020370&rfr_id=info%3Asid%2Fen.wikipedia.org%3ACardinal+number" class="Z3988"></span>isstein, Eric W. "[http://mathworld.wolfram.com/CardinalNumber.html Cardinal Number]". ''MathWorld''.
{{Autoritat}}
| |||