Conjectura de Casas-Alvero: diferència entre les revisions

En [[matemàtiques]], la '''Conjectura de Casas-Alvero''' és una [[conjectura]] en el camp de l'[[àlgebra]] de [[polinomis]]. Pren el seu nom del matemàtic català Eduard Casas Alvero,<ref>{{Ref-web|url=https://www.gaussianos.com/la-conjetura-de-casas-alvero-contada-por-eduardo-casas-alvero/|títol=La conjetura de Casas-Alvero, contada por Eduardo Casas-Alvero|consulta=novembre de 2019|llengua=|editor=Gaussianos|data=24 març 2011|cognom=Morales Medina|nom=Miguel Ángel}}</ref> que va necessitar fer-ne servir l'enunciat l'any [[2001]] mentre treballava amb corbes planes complexes.<ref>{{ref-publicació| zbl=0985.14012 |cognom=Casas-Alvero |nom=Eduardo |títol=Higher order polar germs |publicació=J. Algebra |volum=240 | number=1 |pàgines=326–337 |any=2001 | issn=0021-8693 | doi=10.1006/jabr.2000.8727}}</ref> Va ser batejada pel matemàtic càntabre González Vega en un treball de 2006, on la demostrava per polinomis de grau baix.<ref>{{ref-llibre| zbl=1108.65046 |cognom1=Díaz-Toca |nom1=Gema M. |cognom2=González-Vega |nom2=Laureano |capítol=On analyzing a conjecture about univariate polynomials and their roots by using Maple | editor1-last=Kotsireas | editor1-first=Ilias |títol=Maple conference 2006. Proceedings of the conference, Waterloo, Ontario, Canada, July 23–26, 2006 |lloc=Waterloo |editorial=[[Maplesoft]] |pàgines=81–98 |any=2006 | isbn=1-897310-13-7 }}</ref>

 

Sigui ''f'' un polinomi de [[Grau d'un polinomi|grau]] ''d'' sobre un [[Cos (matemàtiques)|cos]] ''K'' de [[Característica (àlgebra)|característica zero]]. Si ''f'' té un factor en comú amb totes les seves [[Derivada|derivades]] ''f''^(''i''), ''i''&nbsp;=&nbsp;1,&nbsp;...,&nbsp;''d''&nbsp;−&nbsp;1 aleshores ''f'' ha de ser potència d'un factor lineal.

 

Sigui <math>\mathbb{K}</math> un cos de característica 0 i sigui <math>P(X) \in \mathbb{K}[X]</math> un polinomi de grau <math>n \in \N</math> tal que

 

:<math>P(X) = \lambda {(x - \alpha)}^n</math><ref name=Vicedo>{{ref-llibre|cognom=Vicedo|nom=Juan Pablo|editor=[[Universitat de Buenos Aires]]|llengua=castellà|títol=Sobre la conjetura de Casas-Alvero|url=http://cms.dm.uba.ar/academico/carreras/licenciatura/tesis/2015/Juan_Pablo_Vicedo.pdf|mes=Desembre|any=2015}}</ref>

 

Sigui <math>\mathbb{K}</math> un cos de característica 0 i sigui <math>P(X) \in \mathbb{K}[X]</math> un polinomi de grau <math>n \in \N</math> tal que existeixen <math>{\alpha}_{1}, {\alpha}_{2}, \dots, {\alpha}_{n-1} \in \overline{ \mathbb{K} }</math> verificant