Mètode del descens infinit: diferència entre les revisions

== Principi ==

Sigui P(n) una propietat que fa intervenir un enter n. S'intenta demostrar que P(n) és falsa per a tot n. Per això es procedeix com segueix:

 

Aquest mètode serveix essencialment per demostrar que no existeix cap natural responent a una certa propietat a base de construir una nova solució natural estrictament més petita que la precedent (en un sentit a precisar en cada cas). Si una suposició indueix la possibilitat de l'existència d'una successió infinita i estrictament decreixent de naturals llavors aquesta suposició és falsa: en efecte es construiria així un natural que seria més petit que el més petit dels naturals: 0.

Aquest mètode apareix en els [[Elements d'Euclides]], però és sobretot [[Pierre de Fermat]] que el formula explícitament i és de fet un instrument important en el seu programa per a la teoria dels nombres naturals;<ref>Carta a [[Pierre de Carcavi]], 1659</ref> apareix en particular en la seva prova del teorema que la superfície d'un triangle rectangle del qual els costats són enters no pot ser el quadrat d'un enter, prova que constitueix la seva Observació 45 sobre les Aritmètiques de [[Diofantnt]] i que va ser publicada per primera vegada el 1670, a l'edició pòstuma d'aquestes observacions que va fer Samuel de Fermat. Aquest teorema porta a la [[demostració de l'últim teorema de Fermat]] per a n=4. Frenicle de Bessy se serveix també del mètode de descens infinit, segons Fermat, al seu Tractat dels triangles rectangles en nombres, editat el 1676. També va ser utilitzada per [[Leonhard Euler|Euler]] per establir la demostració del [[teorema dels dos quadrats de Fermat]], i en nombroses investigacions de teoria de nombres. Una variant ha estat posada a la pràctica per demostrar el [[teorema de Faltings]] segons el qual l'estructura dels punts amb coordenades racionals (o més generalment amb coordenades en un cos de nombres) sobre una [[corba el·líptica]] és un [[grup abelià finit]].

 

{{Referències}}