Interval de confiança: diferència entre les revisions

El genial estadístic anglès [[Ronald Aylmer Fisher|R. A. Fisher]] va demostrar el 1923 que, sota les hipòtesis de normalitat que estem suposant, la variable aleatòria <math display="block">\frac{\overline X-m}{S/\sqrt{n}}</math>segueix una distribució <math>t</math> de Student amb <math>n-1</math> graus de llibertat .<ref>Degroot, M. H. (1988) ''Probabilidad y estadística''. Addison-Wesley Iberoamericana, México, cap. 7.</ref>. Aleshores, donat un nivell de confiança <math>\gamma</math>, tal com dit, busquem el nombre <math>t_\gamma</math> tal que<math display="block">P(-t_\gamma\le T_{n-1}\le t_\gamma)=\gamma,</math> on <math>T_{n-1}</math> és una variable aleatòria amb [[Distribució t de Student|distribució <math>t</math> de Student]] amb <math>n-1</math> graus de llibertat. Llavors, tindrem

Considerem una població gran <ref>En cas de poblacions petites cal utilitzar altres fórmules per als intervals de confiança</ref><ref>Com en tota l'estadística, població s'entén en sentit ampli: persones, peces fabricades per una màquina, etc.</ref> (a l'exemple, <<persones de Catalunya entre 12 i 79 anys>>) en la qual una proporció <math>p</math> (desconeguda) té determinada característica (a l'exemple, <<utilitza la bicicleta amb alguna freqüència>>). Volem estimar <math>p</math>, i amb aquest objectiu prenem una mostra de mida <math>n</math>, i designem per <math>\widehat p</math> la proporció obtinguda en la mostra de mida .<ref>El lector haurà notat la pràctica estadística habitual de designar un paràmetre de la població per una lletra, i una estimació a partir de la mostra per la mateixa lletra amb un accent circumflex</ref>. Suposarem també que la mida de la població és gran. Per construir un interval de confiança per a <math>p</math>, del [[Teorema central del límit]] es dedueix que, si la mida de la mostra <math>n</math> és gran, llavors <math>\widehat p</math> té una distribució aproximadament normal de mitjana <math>p</math> i variància <math>p(1-p)/n</math>; s'escriu <math display="block">\widehat p \quad \approx_{n \ \text{gran}} \quad