|
En [[matemàtiques]], un '''espai de Banach''' és un [[espai vectorial normat]] i [[Espai complet|complet]]. Pren el seu nom en el matemàtic [[Stefan Banach]]. En un [[espai vectorial]] ''E'' sobre el cos dels [[nombres reals]] o dels [[nombres complexos]]. Una [[norma (matemàtiques)|norma]] a ''E'' és una [[aplicació (matemàtiques)|aplicació]] ||·||:''E'' → [0,∞); ''x'' ↦ ||''x''|| amb les següents propietats per a tot escalar ''λ'' i qualssevol vectors '''x''', '''y''' de l'espai ''E'':
== Definició ==
* [[Definit positiu|Definida positiva]]: ||'''x'''|| = 0 [[si i només si]] '''x''' és el [[vector nul]] d'''E''. ▼En un [[espai vectorial]] <math>E</math> sobre el cos dels [[nombres reals]] o dels [[nombres complexos]]. Una [[norma (matemàtiques)|norma]] a <math>E</math> és una [[aplicació (matemàtiques)|aplicació]] ||·||: <math>E \rightarrow [0,\infty); \mathbf x \mapsto \|\mathbf x\|</math> amb les següents propietats per a tot escalar <math>\lambda</math> i qualsevols vectors <math>[\mathbf x, \mathbf y]</math> de l'espai <math>E</math>:
* Homogeneïtat: ||''λ'''''x'''|| = |''λ''|⋅||'''x'''||.
* [[Desigualtat triangular]]: ||'''x'''+'''y'''|| ≤ ||'''x'''||+||'''y'''||. ▼▲* [[ Definit positiu|Definida positiva]]: <math>\| |'''\mathbf x '''|\| = 0 </math> [[si i només si]] '''<math>x '''</math> és el [[vector nul]] d' ''<math>E ''</math>.
* [[Homogeneïtat]]: <math>\|\lambda \mathbf x\| = |\lambda| \cdot \|\mathbf x\|</math>.
▲* [[Desigualtat triangular]]: <math>\| |'''\mathbf x '''+ '''\mathbf y '''|\| ≤\leq \| |'''\mathbf x '''|\|+ \| |'''\mathbf y '''|\| </math>.
Quan en un espai vectorial tenim definida una norma, parlem d'[[espai vectorial normat]].
Sigui ''<math>E''</math> un espai normat, prenem la definició usual de [[límit (matemàtiques)|límit]] amb la [[mètrica (matemàtiques)|mètrica]] habitual <math>d('''\mathbf x''',''' \mathbf y''') = \||'''\mathbf x'''-'''\mathbf y'''|\|</math>. Diem que <math>\lim_{n\to \infty} \mathbf{x}_n=\mathbf x</math> quan ||'''x'''<sub>''n''</submath>\|\mathbf{x}_n -''' \mathbf x'''|\| →\rightarrow 0</math> per a ''<math>n''→∞ \rightarrow \infty</math>. Ara només cal afegir la noció de [[completesa]]. Direm que aquest espai normat ''<math>E''</math> és complet quan tota [[Successió (matemàtiques)|successió]] ('''x'''<submath>n\mathbf{x}_n</submath>) d'elements d{{'}}''<math>E''</math> que és [[successió de Cauchy]] té un límit en ''<math>E''</math>. Les successions de Cauchy són aquelles en què els termes de la successió són cada vegada més propers conforme es van agafant de manera successiva.
Així doncs, un '''espai de Banach''' és un [[espai vectorial]] ''<math>E ''</math> sobre el [[cos (matemàtiques)|cos]] dels nombres reals o el dels complexos amb una norma ||·|| tal que tota [[successió de Cauchy]] (respecte a la mètrica <math>d( '''\mathbf x ''', ''' \mathbf y ''') = \| |'''\mathbf x '''- '''\mathbf y '''|\| </math>) en ''<math>E ''</math> és [[Convergència (successió matemàtica)|convergent ]] (té un límit).<ref>{{Ref-llibre|títol=Encyclopedic dictionary of mathematics / 2 F - N.|url=https://www.worldcat.org/oclc/165392982|data=1987-01-01|editorial=MIT Pr|isbn=9780262090261}}</ref> ▼
== Exemples ==
▲Així doncs, un '''espai de Banach''' és un [[espai vectorial]] ''E'' sobre el [[cos (matemàtiques)|cos]] dels nombres reals o el dels complexos amb una norma ||·|| tal que tota [[successió de Cauchy]] (respecte a la mètrica d('''x''','''y''')=||'''x'''-'''y'''||) en ''E'' és convergent (té un límit).<ref>{{Ref-llibre|títol=Encyclopedic dictionary of mathematics / 2 F - N.|url=https://www.worldcat.org/oclc/165392982|data=1987-01-01|editorial=MIT Pr|isbn=9780262090261}}</ref>
Per exemple: Els [[espai euclidià|espais euclidians]] ''E''=ℝ<sup>''n''</sup> amb la norma <math> \lVert \mathbf{x}\rVert=\sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2}</math>, on <math>\mathbf x=(x_1,\ldots,x_n)\in \R^n</math>, són espais de Banach. Més generalment, qualsevol espai normat de dimensions finites és un espai de Banach, a causa del seu [[isomorfisme]] per a algun [[espai euclidià]].
== Referències ==
| 