Multiplicadors de Lagrange: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
Cap resum de modificació |
m Robot: substitució automàtica de text: (- es s + se s, - apren + aprèn , - aprén + aprèn , - exitós + reeixit , - exitosa + reeixida , -ïnt +int, -ïsme +isme, -ïsta +ista, - derrotar als + derrotar els , - derrotar al + derrotar el , - |
||
Línia 1:
[[Imatge:Lagrange multiplier.png|thumb|right|300px|Fig. 1. En verd, el lloc geomètric (corba de nivell o isolínia) dels punts que satisfan la restricció ''g''(''x'',''y'') = ''c''. En blau els contorns de ''f''. Les fletxes representen el gradient, que té una direcció perpendicular a la tangent de la isolínia.]]
En problemes d'[[optimització (matemàtiques)|optimització]] matemàtica, el mètode dels '''multiplicadors de Lagrange''', anomenat així per [[Joseph Louis Lagrange]], és un mètode per trobar l'[[extrem]] d'una [[funció matemàtica)|funció]] de
Simplificant, aquesta tècnica permet determinar a quin lloc d'un conjunt particular de punts (com una [[esfera]], un [[cercle]] o un [[pla]]) es troba l'extrem d'una funció donada. La tècnica aplica una generalització i formalització del fet que el conjunt de ''tots'' els punts a alçada ''h'' sobre la superfície de la terra és un conjunt [[tangent]] al cim d'una muntanya d'alçada ''h''.
Línia 21:
Considereu el recorregut al llarg de la isolínia <math> g = c</math>. En general les corbes de nivell de <math> f </math> i <math> g </math> poden ser diferents, la trajectòria de la isolínia <math> g = c</math> pot intersectar o encreuar-se amb les isolínies <math> f </math>. Això equival a dir que al llarg del recorregut de <math> g = c</math> el valor de <math>f </math> pot variar. Només quan la isolínia <math> g = c </math> toca tangencialment la isolínia <math> f </math>, ni augmenta o ni disminueix el valor de <math> f </math>, és a dir, que es toquen però no es creuen.
Això succeeix exactament quan la [[component tangencial]] de la [[derivada total]] s'
<math>\nabla f = \lambda \nabla g</math> per alguns escalars <math>\lambda</math>.
Un exemple familiar es pot obtenir dels mapes meteorològics, amb les seves [[isolínies]]s per a temperatura ([[isoterma|isotermes]]) i pressió ([[isòbara|isòbares]]): els extrems restringits són els punts on, superposant els mapes, les línies es toquen ([[Isopleta|isopletes]]).
La condició de tangència s'expressa geomètricament dient que els [[gradient]]s de <math> f </math> i de <math> g </math> són vectors
:<math> \nabla_{x,y,\lambda} F \left( x , y, \lambda \right)=0 </math>
Línia 43:
== Formulació general: El principi feble del Lagrangià ==
Sigui la funció objectiu <math>f(\mathbf x)</math> i les restriccions <math>g_k(\mathbf x)=0</math>, passant les constants a l'esquerra de la igualtat, com a <math>h_k(\mathbf x)-c_k=g_k(\mathbf x)</math>. El domini de ''f'' hauria de ser un conjunt obert que contingui tots els punts que satisfan les restriccions. A més, <math>f</math> i les restriccions <math>g_k</math> han de tenir les primeres derivades parcials contínues i els gradients de les <math>g_k</math> han de ser no
:<math>\Lambda(\mathbf x, \boldsymbol \lambda) = f + \sum_k \lambda_k g_k.</math>
Línia 75:
== Exemples ==
=== Exemple molt senzill ===
[[Image:Lagrange_very_simple.jpg|thumb|right|300px|Fig. 2.
Es desitja maximitzar <math>f(x,y)=x+y</math> subjecte a la restricció <math>x^2+y^2=1</math>. La restricció és el cercle de radi unitat, i les [[isolínia|isolínies]] de ''f'' són línies diagonals (de pendent -1), així un pot veure gràficament que el màxim es dóna a
Línia 118:
:<math>g (x, y) = x^2 +y^2 -3. \, </math>
La funció ''g'' és idènticament zero sobre el cercle de radi 3. Així, es pot sumar qualsevol múltiple de ''g''(''x'', ''y'') a ''f''(''x'', ''y'') deixant inalterada ''f''(''x'', ''y'') a la regió d'interès (damunt el cercle on
:<math>\Lambda(x, y, \lambda) = f(x,y) + \lambda g(x, y) = x^2y + \lambda (x^2 + y^2 - 3). \, </math>
| |||