Àlgebra homològica: diferència entre les revisions

Els elements de ''C''_''n'' s'anomenen ''n''-'''cadenes''' i els homomorfismes ''d''_''n'' s'anomenen '''diferencials'''.<ref>{{ref-web|url=http://www.ehu.eus/~mtwmastm/CD0607.pdf|nom=Marta|cognom=Macho Stadler|títol=De la homología a la cohomología: Teoremas de dualidad (primera parte)|editor=Universidad del País Vasco-Euskal Herriko Unibertsitatea}}</ref> Els '''grups''' ''C''_''n'' es poden dotar d'una estructura addicional; per exemple, poden ser [[Espai vectorial|espais vectorials]] o [[Mòdul (matemàtiques)|mòduls]] sobre un [[Anell (matemàtiques)|anell]] fixat ''R''. Les diferencials han de preservar aquesta estructura addicional, en el cas que existeixi; per exemple, han de ser [[Aplicació lineal|aplicacions lineals]] o homomorfismes de ''R''-mòduls. Per convenció, ens restingirem al cas de grups abelians (estrictament, a la [[Categoria (matemàtiques)|categoria]] '''Ab''' de grups abelians; un famós [[Teorema d'immersió de Mitchell|teorema de Barry Mitchell]] assegura que els resultats són vàlids en el cas general d'una [[categoria abeliana]] qualsevol). Tot complex de cadenes defineix altres dues successions de grups abelians, els '''cicles''' ''Z''_''n''&nbsp;=&nbsp;Ker ''d''_''n'' i les '''fronteres''' ''B''_''n''&nbsp;=&nbsp; Im ''d''_''n''+1, on Ker&nbsp;''d'' i Im&nbsp;''d'' simbolitzen el [[Nucli (matemàtiques)|nucli]] i la [[Imatge (matemàtiques)|imatge]] de ''d'', respectivament. Com que la composició de dues diferencials qualssevol és zero, aquests grups estan submergits l'un en l'altre: