Viquipèdia

Curvatura gaussiana: diferència entre les revisions

Exploració interactiva de l'historial
← Edició anteriorEdició següent →
Contingut suprimit Contingut afegit
VisualWikitext
→‎Curvatura total: revisió traducció
→‎Fórmules alternatives: revisió traducció
Línia 63:
 
== Fórmules alternatives ==
* CurvaturaLa Guassianacurvatura gaussiana d'una superfície en '''R'''<sup>3</sup> potes serpot expressadaexpressar com laa proporció dels [[Determinant (matemàtiques)|determinants]] de la primera i segona forma fonamental:
 
:: <math>K = \frac{\det\mathrm{I\!I}}{\det\mathrm I} = \frac{LN-M^2}{EG-F^2}.</math>
* La '''fórmula de Brioschi''' donadóna la curvatura gaussiana només en termes de la primera forma fonamental:
:: <math> K =\frac{\det \begin{vmatrix} -\frac{1}{2}E_{vv} + F_{uv} - \frac{1}{2}G_{uu} & \frac{1}{2}E_u & F_u-\frac{1}{2}E_v\\F_v-\frac{1}{2}G_u & E & F\\\frac{1}{2}G_v & F & G \end{vmatrix}- \det \begin{vmatrix} 0 & \frac{1}{2}E_v & \frac{1}{2}G_u\\\frac{1}{2}E_v & E & F\\\frac{1}{2}G_u & F & G \end{vmatrix}}{(EG-F^2)^2} </math>
* Per una '''parametrització''' '''[[Coordenades ortogonals|ortogonal]]''' (i.e., ''F'' = 0), la curvatura gaussiana és:
:: <math>K = -\frac{1}{2\sqrt{EG}}\left(\frac{\partial}{\partial u}\frac{G_u}{\sqrt{EG}} + \frac{\partial}{\partial v}\frac{E_v}{\sqrt{EG}}\right).</math>
* Per una superfície descrita com gràfica gràfica d'una funció ''z'' = '' F''(''x'', ''y''), la curvatura gaussiana és:
:: <math>K = \frac{F_{xx}\cdot F_{yy}- F_{xy}^2}{(1+F_x^2+ F_y^2)^2}</math>
* Per una superfície definida de forma implícita, ''F(x,y,z)'' = 0, la curvatura gaussiana potes serpot expressadaexpressar en termes del gradient <math>\nabla F</math> i la [[Matriu hessiana|matriu Hessianhessiana]] <math>H(F)</math>:<ref>{{ref-publicació|doi=10.1016/j.cagd.2005.06.005|títol=Curvature formulas for implicit curves and surfaces|publicació=Computer Aided Geometric Design|volum=22|exemplar=7|pàgines=632|any=2005|cognom1=Goldman|nom1=R.|id= {{citeseerx|10.1.1.413.3008}}}}</ref><ref>{{ref-llibre|cognom=Spivak|nom=M|any=1975|títol=A Comprehensive Introduction to Differential Geometry|volum=3| editorial=Publish or Perish, Boston}}</ref>
:: <math>
K=-\frac{
Línia 89:
}{ |\nabla F|^4 }
</math>
* Per una superfície amb mètricmètrica conforme a l'Euclidià uneuclidiana, tanés a dir amb F = 0 i E = G = e<sup>σ</sup>, la vurvaturacurvatura Gaussgaussiana és dónadadonada per (on Δ sentrepresenta l'habitual [[Operadoroperador laplacià|operador lapacià]]):
:: <math> K = -\frac{1}{2e^\sigma}\Delta \sigma,</math>
* La curvatura gaussiana éses pot obtenir a partir d'un límit amb la diferència de limitarlongituds entre la '''circumferència''' '''d'un cercle geodèsic'''geodèsica i unla cerclecircumferència en lael planapla:<ref name="Bertrandtheorem">Bertrand–Diquet–Puiseux theorem</ref>
:: <math> K = \lim_{r\to 0^+} 3\frac{2\pi r-C(r)}{\pi r^3}</math>
* La curvatura gaussiana éses lapot diferènciaobtenir dea limitarpartir entre ld'àreaun límit amb la diferència '''d'unàrees entre el disc geodèsic''' i unel disc en la planapla:<ref name="Bertrandtheorem"/>
:: <math>K = \lim_{r\to 0^+}12\frac{\pi r^2-A(r)}{\pi r^4 } </math>
* La curvatura gaussiana es pot ser expressadaexpressar amb els '''[[símbols de Christoffel]]''':<ref>{{ref-llibre|cognom=Struik|nom=Dirk|enllaçautor=Dirk Struik|títol=Lectures on Classical Differential Geometry| editorial=Courier Dover Publications|any=1988|isbn=0-486-65609-8}}</ref>
:: <math>K = -\frac{1}{E} \left( \frac{\partial}{\partial u}\Gamma_{12}^2 - \frac{\partial}{\partial v}\Gamma_{11}^2 + \Gamma_{12}^1\Gamma_{11}^2 - \Gamma_{11}^1\Gamma_{12}^2 + \Gamma_{12}^2\Gamma_{12}^2 - \Gamma_{11}^2\Gamma_{22}^2\right)</math>
 
Obtingut de «https://ca.wikipedia.org/wiki/Curvatura_gaussiana»