Tots els grup compactes tenen una mesura de Haar, que és invariant respecte a [[Translació (geometria)|translacions]] esquerra i dreta.<ref>{{Citationcitar ref|last cognom= Weil|first nom= André|author-link enllaçautor= André Weil|title títol= L'intégration dans les groupes topologiques et ses applications|series = Actualités Scientifiques et Industrielles|publisher editorial= Hermann|year any= 1940|place = Paris|volume volum= 869}}</ref> En altres paraules, aquests grups són [[Mesura de Haar|unimodulars.]] La mesura de Haar és fàcilment normalitzada per a esdevenir una [[mesura de probabilitat]], anàlega a dθ/2π al cercle.
== Teoria de representació ==
La teoria de representació dels grups compactes va ser fundada pel teorema de Peter–Weyl.<ref>{{Citation|first1citar ref|nom1= F.|last1 cognom1= Peter|first2 nom2= H.|last2 cognom2= Weyl|title títol= Die Vollständigkeit der primitiven Darstellungen einer geschlossenen kontinuierlichen Gruppe|journal publicació= Math. Ann.|volume volum= 97|year any= 1927|pages pàgines= 737–755|doi = 10.1007/BF01447892}}</ref> [[Hermann Weyl]] la va completar detallant la teoria de caràcter dels grups de Lie connexos compactes, basats en la teoria del tor màxim. La fórmula de caràcter de Weyl resultant ha estat un dels resultats influents de les matemàtiques de {{segle|XX}}.
