|
== Definició equivalent ==
Le sous-ensemble ''F'' est un <math>\mathbb K</math>-subespai vectoriel de ''E'' [[Équivalence logique|si et seulement si]] : ▼
La subclasse ''F'' és un <math>\mathbb K</math>-subespai vectorial de ''E'' [[si i només si]]:
▲LeEl sous-ensemblesubconjunt ''F'' estés un <math>\mathbb K</math>-subespai vectorielvectorial de ''E'' [[ Équivalence logique|si eti seulementnomés si]] :
*<math> F \subset E </math>
* <Math> F \subset E </math>
*<math> F \neq \emptyset </math> ;
* <Math> F \neq \emptyset </math>;
*<math> \forall u,v \in F, \ u + v \in F </math> ;
* <Math> \forall u,v \in F, \ u + v \in F </math>;
*<math> \forall \lambda \in \mathbb{K} , \ \forall u \in F , \ \lambda u \in F </math>.
* <Math> \forall \lambda \in \mathbb{K}, \ \forall u \in F, \ \lambda u \in F </math>.
Ceci équivaut à :
Això equival a:
*<math> F \subset E </math>
* <Math> F \subset E </math>
*<math> F \neq \emptyset </math>;
* <Math> F \neq \emptyset </math>;
*<math> \forall u,v \in F, \forall \lambda,\beta \in \mathbb{K}, \ \lambda u + \beta v \in F</math>.
En Altres Paraules ''F'' és un subespai vectorial de ''E'' si i només si no és buit i és estable per [[combinació lineal |combinacions lineals]]. ▼* <Math> \forall u,v \in F, \forall \lambda,\beta \in \mathbb{K}, \ \lambda u + \beta v \in F</math>.
En d'autres termes, ''F'' est un subespai vectoriel de ''E'' si et seulement s'il n'est pas vide et est stable par [[combinaison linéaire|combinaisons linéaires]].
▲En Altres Paraules ''F'' és un subespai vectorial de ''E'' si i només si no és buit i és estable per [[combinació lineal|combinacions lineals]].
'''Nota''' : dans tout espace vectoriel ''E'' non réduit à <math>\ \{0\}</math>, il y a au moins deux subespai vectoriels. Ce sont <math>\ \{0\}</math> et ''E'' lui-même : on les appelle les deux ''subespai vectoriels triviaux''.
'''Va anotar''': en tot espai vectorial ''E'' no reducte a <math>\ \{0\}</math>, hi ha almenys dos subespai vectorials. És <math>\ \{0\}</math> i ''E'' ell mateix: se'ls diu els dos ''subespai vectorials trivials'' . ▼
'''Remarque 1''' : un subespai vectoriel ''F'' de ''E'' contient nécessairement le vecteur nul <math>\ 0_E</math> de ''E'' (en effet, comme ''F'' est non vide, il existe au moins un élément <math>\ u_0</math> de ''F'' ; alors, pour tout <math>\ \lambda</math> dans <math>\ \mathbb{K}</math>, <math>\lambda u_0</math> appartient à ''F'' ; le choix <math>\ \lambda = 0</math> donne <math>0_E = 0 \cdot u_0 \in F</math>). ▼
'''Observació 1''': un subespai vectorial ''F'' de ''E'' conté necessàriament el vector cap <math>\ 0_E</math> de ''E'' (en efecte, com ''F'' és no buit, existeix almenys un element <math>\ u_0</math> de ''F''; llavors, per a tot <math>\ \lambda</math> en <math>\ \mathbb{K}</math>, <math>\lambda u_0</math> pertany a ''F''; la tria <math>\ \lambda = 0</math> dóna <math>0_E = 0 \cdot u_0 \in F</math>).
C'est pourquoi, lorsqu'il s'agit de montrer qu'un sous-ensemble ''F'' de ''E'' est un subespai vectoriel de ''E'', on vérifie souvent que ''F'' ne soit pas vide en s'assurant qu'il contient le vecteur nul (s'il ne le contient pas, il y a immédiatement contradiction).
És per què, quan es tracta d'ensenyar que una subclasse ''F'' de ''E'' és un subespai vectorial de ''E'', es verifica sovint que ''F'' no sigui buit assegurant-se que conté el vector cap (si no el conté, hi ha immediatament contradicció). ▼
▲''' Va anotarNota''': en tot espai vectorial ''E'' no reductereduït a <math>\ \{0\}</math>, hi ha almenys dos subespai subespais vectorials. ÉsSón <math>\ \{0\}</math> i ''E'' ell mateix: se' lsn diu els dos '' subespaisubespais vectorials trivials'' .
▲''' RemarqueObservació 1''' : un subespai vectorielvectorial ''F'' de ''E'' contientconté nécessairementnecessàriament leel vecteurvector nul <math>\ 0_E</math> de ''E'' (en effetefecte, commecom que ''F'' estés nonno videbuit, ilexisteix existe au moinsalmenys un élémentelement <math>\ u_0</math> de ''F'' ; alorsllavors, pourper touta tot <math>\ \lambda</math> dansen <math>\ \mathbb{K}</math>, <math>\lambda u_0</math> appartientpertany àa ''F'' ; lela choixtria <math>\ \lambda = 0</math> donnedóna <math>0_E = 0 \cdot u_0 \in F</math>).
▲És per quèaixò, quan es tracta d'ensenyarde demostrar que unaun subclassesubconjunt ''F'' de ''E'' és un subespai vectorial de ''E'', es verifica sovint es comença comprovant que ''F'' no sigui buit assegurant-se que conté el vector capnul (si no el conté, immediatament hi ha immediatament contradicció).
'''Remarque 2''' : lorsque ''E'' n'est pas réduit à <math>\ \{0\}</math>, on définit dans l'ensemble <math> G = E \setminus \{0_E\}</math> une [[relation d'équivalence]] ''R'' qui consiste à dire que deux éléments ''V'' et ''W'' sont liés par ''R'' s'il existe un élément ''k'' non nul du corps commutatif ''K'' tel que ''W = k V''. Alors ''P'', l'ensemble quotient de ''G'' par ''R'', a une structure très riche d'[[espace projectif]].
'''Observació 2''': quan ''E'' no és reducteredueix a <math>\ \{0\}</math>, es defineix en totalel conjunt <math> G = E \setminus \{0_E\}</math> una [[relació d'equivalència]] ''R'' que consisteix a dir més que dos elements ''V'' i ''W'' sónestan lligatsrelacionats per ''R'' si existeix un element ''k'' no nul del cos commutatiu ''K'' tal que ''W = k V'' . Llavors ''P'', el conjunt quocient de ''G'' per ''R'', té una estructura molt rica en d'[[espai projectiu]].
== Intersecció de dos subespais vectorials ==
| 