Anell factorial: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
Cap resum de modificació |
Cap resum de modificació |
||
Línia 2:
Un resultat important d'aquest tipus d'anells és que si A és un DFU aleshores A [X] també ho és.
<!--
==Definició ==
A [[integrant de domini]] ''' '' '' A és un anell de factorització única, si cada element x ''' '' '' '' '' A de la no-zero i diferent d'un [[# Divisibilitat de domini integral, irreductible i el Primer elements|unitat]] s'escriu com un producte dels elements [de domini [# integrant de divisibilitat, els elements principals i irreductible irreductible|]]
: X '' '' '' '' p <sub> = 1 </sub> '' p '' <sub> 2 </sub> ... <sub> '' '' '' p <n ''/sub>
i aquesta representació és única dins dels següents: si
'' '' q <sub> 1 </sub >,..., <sub> '' '' '' q <M ''/sub> són elements irreductibles de '' '' R tal que
: X '' '' '' '' <sub> q = 1 </sub> '' '' q <sub> 2 </sub> ... Q <sub> '' '' '' <M ''/sub>,
a continuació, en milions de '' '' '' '' n = i hi ha una [[correspondència]] φ:{1 ,..., n '' '' <tt> »--> </tt>{1 ,..., n '' '' és tal que p '' '' '' '' i <sub> </sub> i '' '' q <sub> φ ('' '' i) </sub> són [domini d'integritat [# divisibilitat, els elements principals i|irreductible associats]], per cada '' '' i = 1, ..., n '' ''.
Una definició alternativa, que no exigeix exclusivitat, és el següent: un anell és un domini únic de '' de '' en què cada element no és zero i diferent d'una unitat dels elements del producte [domini [# integrant de divisibilitat, els elements principals i|irreductible primer]].
==Exemples ==
===Dominis que són factorització única===
* ''' ''' Z l'anell de [[Enter]]s, gràcies al teorema [[fonamental de l'aritmètica]];
* [A [camp (matemàtiques)|camp]] qualsevol camp com de la [[nombres racionals]] ''' ''' Q [[real nombre real]] ''' R ''' o [|complex [nombre complex]] ''' C ''';
* '' '' anell K [x '' ''] per [polinomis|[polinomi]] amb coeficients en un cos K '' '';
* '' '' anell K [x '' '', '' i ''] <sub> d </sub> de la [[polinomi polinomis homogenis|homogènia]] de grau d '' '' '' coeficients en un cos K '';
* L'anell Z ''' ''' ['' '' i] de [[Gauss sencer gaussià|sencers]].
* '' '' K <nowiki> el cicle [[</nowiki> '' '' <sub> X 1 </sub >,..., <sub> '' '' '' X <n ''/sub> <nowiki>]] </nowiki> de [sèrie de potències [formals en diverses variables|sèries formals]] amb coeficients en un cos K '' '';
Dominis === que no són únics factorització ===
* L'anell <math> \mathbb Z{}[\sqrt{-5»] </math> per a tots els números complexos de <math> tipus a+b \sqrt -5{}</math>, on '' i '' '' '' b són nombres enters. L'element 6 és, en efecte es factoritza en dues formes diferents com <math> # 2 \cdot 3 # </math> i <math> (1+\sqrt{-5 ») \cdot (1 - \sqrt{-5 ») </math>. Que passa és que els quatre factors són irreductibles. Els dos factoritzacions són en realitat unitats separades a causa d'aquest anell és de només 1 i -1.
== == Propietats
* [A [principal ideal anell]] ha factorització única.
'' '' A és un anell de factorització única.
* L'anell A '' '' ['' '' x] de polinomis amb coeficients en A '' '' és també la factorització única. Després de [[principi d'inducció|Inducció]] es demostra que aquests anells ''' ''' Z [X '' '' <sub> 1 </sub>, ..., X '' '' '' '' n <sub> </sub >] i K '' '' '' [X '' <sub> 1 </sub>, ..., X '' '' '' '' n <sub> </sub>] de polinomis en les variables '' n '' amb coeficients en Z ''' ''' o en qualsevol camp K '' '' té factorització única. Si '' '' n> 1, aquests anells no és un cicle [[ideal principal|principal]] ideal.
* Cada element irreductible de '' '' A és el primer. El contrari és cert en qualsevol domini d'integritat, llavors aquí els conceptes de la primera i irreductible coincideixen.
* Cada parell (o finit) d'elements té un major '' â '' [[comú divisor]] i almenys un [[comuns múltiples]], definit a partir del concepte de domini [[# integrant de divisibilitat, els elements principals i|irreductible divisibilitat]] en un domini de la mateixa manera que per als sencers.
Referències == ==
* [[Anell commutatiu]]
* [[Integral de domini]]
* [[Principal ideal anell]]
* [[Euclidiana anell]]
--->
[[Categoria: Teoria d'anells]]
| |||