Conjunt convex: diferència entre les revisions

Sia ''C'' un [[conjunt (matemàtiques)|conjunt]] en un [[espai vectorial]] [[nombre real|real]] o [[nombre complex|complex]]. Es diu que ''C'' és convex si, per a tot el ''x'' i ''y'' de C i tot ''t'' en l'interval [0,1], el punt

 

 

pertany a ''C''. En altres paraules, tots els punts en el [[segment]] de recta que connecta ''x'' i ''y'' són de ''C''. Això implica que un conjunt convex en un [[espai vectorial topològic]] real o complex és [[conjunt connex|connex]].

Si <math>S</math> és un conjunt convex, per a qualsevol <math>u_1,u_2,\ldots,u_r</math> de <math>S</math>, i qualsevol [[nombre negatiu|nombres no negatius]] <math>\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_r </math> tlas que <math>\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_r=1</math>, es compleix que el vector

<math>\sum_{k=1}^r\lambda_k u_k</math>

 

La [[intersecció]] de qualsevol col·lecció de conjunts convexos és convexa, així els subconjunts convexos d'un espai vectorial (real o complex) formen un [[reticle (matemàtiques)|reticle]] complet. Això també significa per a qualsevol subconjunt ''A'' de l'espai vectorial existeix el conjunt convex més petit que el conté (anomenat l'[[embolcall convex]] d' ''A''), és a dir que és la intersecció de tots els conjunts convexos que contenen ''A''.

===Convexitat ortogonal===

 

 

Un conjunt ''S'' en l'[[espai euclidià]] s'anomena '''ortogonalment convex''', si qualsevol segment paral·lel a qualsevol dels eixos de coordenades que connecti dos punts de ''S'' roman totalment dins de ''S''. És fàcil de demostrar que la intersecció de qualsevol col·lecció de conjunts ortogonalment convexos és ortogonalment convexa. Algunes altres propietats dels conjunts convexos també es compleixen.

=== Geometria no euclidiana ===

 

 

=== Topologia d'ordre ===