Revisió del 21:31, 8 gen 2012 modifica WikitanvirBot (discussió \| contribucions) Bots 60.939 edits m r2.7.1) (Robot afegeix: ar:مبرهنة تايلور ← Edició anterior		Revisió del 20:17, 9 abr 2012 modifica desfés EVA (bot) (discussió \| contribucions) Bots 851.856 edits m Robot: Reemplaçament automàtic de text (- + ) Edició següent →
Línia 2: :<math> f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x - a) + \frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n + R </math> Línia 13: :<math> R = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x-a)^{n+1} </math> Línia 19: :<math> R = \int_a^x \frac{f^{(n+1)} (t)}{n!} (x - t)^n \, dt </math> Línia 37: Es defineix el residu com a <math>R_n (x)= f(x)- \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k </math>, o sigui la diferència entre l'aproximació de grau n i la funció original. Així <math>\lim_{x \to a} \frac {R_n (x)}{(x-a)^n}= \lim_{x \to a} \frac {f(x)- \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k}{(x-a)^n}=\frac{0}{0} </math> , ja que els termes del numerador són tots nul·ls excepte els dos primers, que són oposats per a x=a. Aquesta indeterminació es pot desfer aplicant la [[Regla_de_L'Hôpital\|regla de l'Hopital]] reiteradament: <math>\lim_{x \to a} \frac {R_n (x)}{(x-a)^n}= \lim_{x \to a} \frac {f(x)- \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k}{(x-a)^n}= \lim_{x \to a} \frac {f'(x)- \sum_{k=1}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}k(x - a)^{k-1}}{n(x-a)^{n-1}}=...</math> <math> \lim_{x \to a} \frac {f^{(n)}(x)- \frac{f^{(n)}(a)}{n!}n!(x - a)^0}{n!} =\frac {1}{n!} \lim_{x \to a} \left( f^{(n)}(x) - f^{(n)}(a)\right)= 0 </math> Si el valor de ''ξ'' del terme complementari de Lagrange és el màxim de l'interval, s'obté el valor màxim de l'error comès en aproximar una funció pel seu polinomi de Taylor a l'entorn de x=a.

Teorema de Taylor: diferència entre les revisions