Revisió del 07:28, 30 des 2011 modifica TjBot (discussió \| contribucions) Bots 13.010 edits m r2.5.4) (Robot afegeix: lv:Diferenciālvienādojums ← Edició anterior		Revisió del 16:55, 12 abr 2012 modifica desfés EVA (bot) (discussió \| contribucions) Bots 851.856 edits m Robot: Reemplaçament automàtic de text (- + ) Edició següent →
Línia 121: Per a una equació diferencial ''en forma normal'', mitjançant una hipòtesi de regularitat bastant poc exigent (caràcter localment [[funció Lipschitz\|lipschitzià]] a ''x'' fixat, respecte al bloc de les altres variables), el [[teorema de Picard-Lindelöf]] estableix que, per a cada condició inicial * existeix una solució que la satisfà i que està definida en un interval de forma <math>]x_0-\alpha, x_0+\alpha[</math> * existeix una única solució màximal que la satisfà. === Condicions de contorn === Línia 152: Sigui ''y'' una solució particular de l'equació diferencial, que té per condicions inicials ''x<sub>0</sub>'', ''Y<sub>0</sub>... Y<sub>n-1</sub>''. La propietat de continuïtat permet donar el comportament de les solucions que corresponen a condicions inicials veïnes. * si es restringeix la solució a un [[interval (matemàtiques)\|segment]] ''[x<sub>i</sub>, x<sub>f</sub>]'' que conté ''x<sub>0</sub>'', les solucions de condicions inicials veïnes formen un '''tub de solucions''' al voltant de la solució ''y''. Més precisament, per a tot <math>\varepsilon >0</math>, existeix <math>\eta >0</math> tal que si ''z'' és solució amb condicions inicials ''x<sub>0</sub>'', ''Z<sub>0</sub>... Z<sub>n-1</sub>'' i els ''Z<sub>i</sub>'' <math>\eta</math> dels ''Y<sub>i</sub>'', llavors la solució ''z'' es troba en un [[veïnatge tubular]] de ''y'', de radi <math>\varepsilon</math>. Línia 158: Per tant, si es pren una successió ''z<sub>n</sub>'' de tals solucions, les condicions inicials de les quals tendeixen cap a les de ''y'', la successió ''z<sub>n</sub>'' [[convergència uniforme\|convergeix uniformement]] cap a ''y'' . * si s'estudia la solució sobre tot el seu àmbit d'existència, aquesta propietat ja no es verifica. === Estabilitat de les solucions === Línia 191: '''Particularitats de les equacions diferencials lineals en forma normal''' * les solucions tenen una duració de vida infinita. * es poden superposar (fer combinacions lineals de solucions d'equacions diferencials lineals) * quan l'equació és '''homogènia''' (<math>a_{n+1}</math> = 0), el seu conjunt de solucions és un espai vectorial de dimensió ''n'' vegades la dimensió de ''E'' . * n'hi ha prou doncs amb trobar un nombre suficient de solucions independents de l'equació homogènia per resoldre-la. Es pot provar la independència de solucions amb l'ajuda del [[wronskià]]. * el conjunt de les solucions de l'equació general és un espai afí: la solució general està formada per la suma d'aquesta solució particular amb la solució general de l'equació lineal homogènia associada. * el [[Mètode de variació de les constants]] permet, una vegada resolta l'equació homogènia, resoldre l'equació completa * en el cas d'equacions de coeficients constants, es disposa de fórmules de resolució explícites amb l'ajuda d'[[funció exponencial\|exponencials]] de matrius o d'endomorfismes, o ambé utilitzant la [[transformada de Laplace]]. == Equació diferencial holomorfa == Línia 276: == Bibliografia == * ''Équations différentielles et systèmes dynamiques'', John Hubbard i Beverly West, Ed. Cassini * [[Vladimir Arnold]], ''Équations Différentielles Ordinaires'', Edicions Mir, Moscu, 1974. Conté molts exemples. * ''Calcul différentiel et intégral'', F. Laudenbach, edició Escola Politècnica * [[Vladimir Damgov]], ''Nonlinear and parametric phenomena. Applications to radiometric and mechanical systems,'' World Scientific, Series on Nonlinear Sciences, 2004. * [[Lev Pontriaguine]], ''Équations différentielles ordinaires'', Moscu, Edicions Mir, 1969; (un dels millors llibres, en francès, sobre l'assumpte amb una exposició molt clara sobre l'application de Poincaré utilitzada en la [[teoria del caos\|teoria del caos)]]. * E. L. Ince ''Ordinary differential equations'', Dover Publicacions, New-York. 1926. Molt útil per a la teoria de les equacions diferencials lineals amb condicions als límits. {{1000 Ciències naturals}}

Equació diferencial: diferència entre les revisions