Equació diferencial ordinària: diferència entre les revisions

m
Robot: Reemplaçament automàtic de text (- + )
m (Robot: Reemplaçament automàtic de text (- + ))
:<math>f' = f \,</math>,
 
on <math>f \,</math> és una funció desconeguda, i <math>f'\,</math> és la seva derivada.
 
== Definició ==
|<math>=\frac{(5-k^2)\sin(kx)+4k\cos(kx)}{(3+k^2)^2+16}</math>
|}
(Noti's que ''u''<sub>1</sub> i ''u''<sub>2</sub> tenien factors que han cancel·lat ''y''<sub>1</sub> i ''y''<sub>2</sub>; això és típic que passi.)
 
=== EDO lineals amb coeficient variable ===
===== Fet =====
 
Siguin ''p''(''x''), ''q''(''x''), i ''g''(''x'') funcions, i siguin <math>y_1(x)</math> i <math>y_2(x)</math> solucions de les equacions lineals homogènies <math>y''(x) + p(x) y'(x) + q(x) y(x) = 0</math>. A més, siguin ''u''(''x'') i ''v''(''x'') funcions tals que <math>u'(x) y_1(x) + v'(x) y_2(x) = 0</math> i <math>u'(x) y_1'(x) + v'(x) y_2'(x) = g(x)</math> per tot ''x'', i definieixin <math>y_p(x) = u(x) y_1(x) + v(x) y_2(x)</math>. Llavors <math>y_p(x)</math> és solució de l'equació diferencial lineal no homogènia <math>y''(x) + p(x) y'(x) + q(x) y(x) = g(x)</math>.
 
===== Demostració =====
 
#Es troba la solució general a l'equació homogència corresponent <math>y''(x) + p(x) y'(x) + q(x) y(x) = 0</math>. Específicament, es troben dues solucions linealment independents <math>y_1(x)</math> i <math>y_2(x)</math>.
#Com que <math>y_1(x)</math> i <math>y_2(x)</math> són solucions linealment independents, el seu [[Wronskià]] <math>y_1(x) y_2'(x) - y_1'(x) y_2(x)</math> és diferent de zero, per tan es pot calcular <math>-(g(x) y_2(x))/({y_1(x) y_2'(x) - y_1'(x) y_2(x)})</math> i <math>({g(x) y_1(x)})/({y_1(x) y_2'(x) - y_1'(x) y_2(x)})</math>. Si el primer és igual a ''u''<nowiki>'</nowiki>(''x'') i el segon a ''v''<nowiki>'</nowiki>(''x''), llavors ''u'' i ''v'' satisfan les dues restriccions donades a sobre: que <math>u'(x) y_1(x) + v'(x) y_2(x) = 0</math> i que <math>u'(x) y_1'(x) + v'(x) y_2'(x) = g(x)</math>. Es pot dir això després de multiplicar pel denominador i comparant coefficients.
#Integrant <math>-(g(x) y_2(x))/({y_1(x) y_2'(x) - y_1'(x) y_2(x)})</math> i <math>({g(x) y_1(x)})/({y_1(x) y_2'(x) - y_1'(x) y_2(x)})</math> per obtenir ''u''(''x'') and ''v''(''x''), respectivament. (Noti's que només es necessita una ''u'' i una ''v'', per tant no calen les constants d'integració.)
#Es calcula <math>y_p(x) = u(x) y_1(x) + v(x) y_2(x)</math>. La funció <math>y_p</math> és una solució de <math>y''(x) + p(x) y'(x) + q(x) y(x) = g(x)</math>.
 
Resoldre l'exemple anterior, <math>y'' + y = \sec x</math>.
Recordant que <math>\sec x = \frac{1}{{\cos x}} = f</math>. Mitjançant la tècnica ja descrita, LHS té l'arrel de <math>r = \pm i</math> que dóna <math>y_c = C_1 \cos x + C_2 \sin x</math>, (per tant, <math>y_1 = \cos x</math>, <math>y_2 = \sin x</math> ) i les seves derivades
:<math>\left\{ {\begin{matrix}
{\dot u = \frac{{ - y_2 f}}{W} = \frac{{ - \sin x}}{{\cos x}} = \tan x} \\
{\dot v = \frac{{y_1 f}}{W} = \frac{{\cos x}}{{\cos x}} = 1} \\
\end{matrix}} \right.</math>
on el Wronskià
:<math>W\left( {y_1,y_2 :x} \right) = \left| {\begin{matrix}
{\cos x} & {\sin x} \\
{ - \sin x} & {\cos x} \\
\end{matrix}} \right| = 1</math>
s'han calculat per trobar solucions a les seves derivades.
Integrant,
:<math>\left\{ \begin{matrix}
u = - \int {\tan xdx = - \ln \left| {\sec x} \right| + C} \\
v = \int {1dx = x + C} \\
\end{matrix} \right.</math>
Calculant <math>y_p</math> and <math>y_G</math>:
:<math>\begin{matrix}
y_p = f = uy_1 + vy_2 = \cos x\ln \left| {\cos x} \right| + x\sin x \\
y_G = y_c + y_p = C_1 \cos x + C_2 \sin x + x\sin x + \cos x\ln \left( {\cos x} \right) \\
\end{matrix}</math>
 
 
Substituint a la segona equació
:<math>v = \int r e^{ \int p dt } + C </math>
 
Com que ''x'' = ''uv'', per una constant arbitrària ''C''
851.856

modificacions