Revisió del 23:56, 12 gen 2012 modifica Rezabot (discussió \| contribucions) 6.529 edits m r2.7.1) (Robot afegeix: el:Συνήθης διαφορική εξίσωση ← Edició anterior		Revisió del 16:56, 12 abr 2012 modifica desfés EVA (bot) (discussió \| contribucions) Bots 851.856 edits m Robot: Reemplaçament automàtic de text (- + ) Edició següent →
Línia 5: :<math>f' = f \,</math>, on <math>f \,</math> és una funció desconeguda, i <math>f'\,</math> és la seva derivada. == Definició == Línia 196: \|<math>=\frac{(5-k^2)\sin(kx)+4k\cos(kx)}{(3+k^2)^2+16}</math> \|} (Noti's que ''u''<sub>1</sub> i ''u''<sub>2</sub> tenien factors que han cancel·lat ''y''<sub>1</sub> i ''y''<sub>2</sub>; això és típic que passi.) === EDO lineals amb coeficient variable === Línia 259: ===== Fet ===== Siguin ''p''(''x''), ''q''(''x''), i ''g''(''x'') funcions, i siguin <math>y_1(x)</math> i <math>y_2(x)</math> solucions de les equacions lineals homogènies <math>y''(x) + p(x) y'(x) + q(x) y(x) = 0</math>. A més, siguin ''u''(''x'') i ''v''(''x'') funcions tals que <math>u'(x) y_1(x) + v'(x) y_2(x) = 0</math> i <math>u'(x) y_1'(x) + v'(x) y_2'(x) = g(x)</math> per tot ''x'', i definieixin <math>y_p(x) = u(x) y_1(x) + v(x) y_2(x)</math>. Llavors <math>y_p(x)</math> és solució de l'equació diferencial lineal no homogènia <math>y''(x) + p(x) y'(x) + q(x) y(x) = g(x)</math>. ===== Demostració ===== Línia 291: #Es troba la solució general a l'equació homogència corresponent <math>y''(x) + p(x) y'(x) + q(x) y(x) = 0</math>. Específicament, es troben dues solucions linealment independents <math>y_1(x)</math> i <math>y_2(x)</math>. #Com que <math>y_1(x)</math> i <math>y_2(x)</math> són solucions linealment independents, el seu [[Wronskià]] <math>y_1(x) y_2'(x) - y_1'(x) y_2(x)</math> és diferent de zero, per tan es pot calcular <math>-(g(x) y_2(x))/({y_1(x) y_2'(x) - y_1'(x) y_2(x)})</math> i <math>({g(x) y_1(x)})/({y_1(x) y_2'(x) - y_1'(x) y_2(x)})</math>. Si el primer és igual a ''u''<nowiki>'</nowiki>(''x'') i el segon a ''v''<nowiki>'</nowiki>(''x''), llavors ''u'' i ''v'' satisfan les dues restriccions donades a sobre: que <math>u'(x) y_1(x) + v'(x) y_2(x) = 0</math> i que <math>u'(x) y_1'(x) + v'(x) y_2'(x) = g(x)</math>. Es pot dir això després de multiplicar pel denominador i comparant coefficients. #Integrant <math>-(g(x) y_2(x))/({y_1(x) y_2'(x) - y_1'(x) y_2(x)})</math> i <math>({g(x) y_1(x)})/({y_1(x) y_2'(x) - y_1'(x) y_2(x)})</math> per obtenir ''u''(''x'') and ''v''(''x''), respectivament. (Noti's que només es necessita una ''u'' i una ''v'', per tant no calen les constants d'integració.) #Es calcula <math>y_p(x) = u(x) y_1(x) + v(x) y_2(x)</math>. La funció <math>y_p</math> és una solució de <math>y''(x) + p(x) y'(x) + q(x) y(x) = g(x)</math>. Línia 303: Resoldre l'exemple anterior, <math>y'' + y = \sec x</math>. Recordant que <math>\sec x = \frac{1}{{\cos x}} = f</math>. Mitjançant la tècnica ja descrita, LHS té l'arrel de <math>r = \pm i</math> que dóna <math>y_c = C_1 \cos x + C_2 \sin x</math>, (per tant, <math>y_1 = \cos x</math>, <math>y_2 = \sin x</math> ) i les seves derivades :<math>\left\{ {\begin{matrix} {\dot u = \frac{{ - y_2 f}}{W} = \frac{{ - \sin x}}{{\cos x}} = \tan x} \\ {\dot v = \frac{{y_1 f}}{W} = \frac{{\cos x}}{{\cos x}} = 1} \\ \end{matrix}} \right.</math> on el Wronskià :<math>W\left( {y_1,y_2 :x} \right) = \left\| {\begin{matrix} {\cos x} & {\sin x} \\ { - \sin x} & {\cos x} \\ \end{matrix}} \right\| = 1</math> s'han calculat per trobar solucions a les seves derivades. Línia 317: Integrant, :<math>\left\{ \begin{matrix} u = - \int {\tan xdx = - \ln \left\| {\sec x} \right\| + C} \\ v = \int {1dx = x + C} \\ \end{matrix} \right.</math> Calculant <math>y_p</math> and <math>y_G</math>: :<math>\begin{matrix} y_p = f = uy_1 + vy_2 = \cos x\ln \left\| {\cos x} \right\| + x\sin x \\ y_G = y_c + y_p = C_1 \cos x + C_2 \sin x + x\sin x + \cos x\ln \left( {\cos x} \right) \\ \end{matrix}</math> Línia 366: Substituint a la segona equació :<math>v = \int r e^{ \int p dt } + C </math> Com que ''x'' = ''uv'', per una constant arbitrària ''C''

Equació diferencial ordinària: diferència entre les revisions