Símbol de Legendre: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m r2.7.1) (Robot afegeix: kk:Лежандр нышаны |
m Robot: Reemplaçament automàtic de text (- + ) |
||
Línia 22:
Si ''a'' és un múltiple de ''p'', llavors n'és igualment de ''a'' a la potència (''p'' - 1)/2 i els dos enters són congruents a 0 mòdul ''p''. Si ''a'' no és un múltiple de ''p'', llavors ''a'' i ''p'' són primers entre ells ja que ''p'' és primer.
Es Considera l'aplicació del grup multiplicatiu ''Z''/p''Z''<sup>*</sup> en si mateix, que a la classe de ''x'' li associa la classe de ''x''<sup>2</sup>. És un [[homomorfisme de grup]] d'imatge el conjunt dels residus quadràtica de ''Z''/p''Z'' i de nucli {-1, 1}. El [[teorema de Lagrange]] mostra que el conjunt dels residus quadràtics és un subgrup de ''Z''/p''Z'' d'ordre (''p'' - 1)/2. En ''Z''/p''Z''<sup>*</sup>, existeixen doncs exactament (''p'' - 1)/2
Es considera llavors l'aplicació del grup multiplicatiu ''Z''/p''Z''<sup>*</sup> en ell mateix, que a la classe de ''x'' li associa la classe de ''x'' a la potència (''p'' - 1)/2. És també un morfisme de grup i el teorema de Lagrange demostra que el seu valor està en {-1, 1}, és a dir en les arrels del [[polinomi]] ''X''<sup>2</sup> - 1. El seu nucli és doncs d'ordre (''p'' - 1)/2.
Línia 28:
Si ''a'' és un residu quadràtic, llavors, per definició, existeix un enter ''b'' tal que el seu quadrat és congruent amb ''a'' mòdul ''p''. El [[teorema de Lagrange]] aplicat al grup multiplicatiu ''Z''/p''Z''<sup>*</sup> mostra que ''b''<sup>p -1</sup> és congruent 1 mòdu ''p'', el que implica que ''a'' a la potència (''p'' - 1)/2 és congruent a 1 mòdul ''p''. Se'n dedueix que el nucli del morfisme està compost dels residus quadràtics de ''Z''/p''Z''<sup>*</sup>.
Recíprocament, si ''a'' no és un residu quadràtic, no és en el nucli de φ, en conseqüència la seva imatge per φ
El criteri d'Euler mostra que l'aplicació que a ''a'' li associa el símbol de Legendre per a les classes mòdul ''p''. és un morfisme del grup ''Z'' en {-1, 1}, és doncs un [[caràcter de Dirichlet]].
Línia 54:
</math> ja que 1 és el quadrat de si mateix
#<math>
\left(\frac{-1}{p}\right) = (-1)^{\left(\frac{p-1}{2}\right)} = \left\{ \begin{matrix} {1 \mbox{ si } p \equiv 1 [4] } \\ {-1 \mbox{ si } p \equiv 3 [4]}
#<math>
\left(\frac{2}{p}\right) = (-1)^{\left(\frac{p^2-1}{8}\right)}</math> = 1 si ''p'' ≡ 1 o 7 (mod 8) i −1 si ''p'' ≡ 3 o 5 (mod 8)
| |||